CGAL的四叉树、八叉树、正交树

四叉树（Quadtree）：四叉树是一种用于二维空间分割的数据结构。它将一个二维区域划分为四个象限，每个象限进一步细分为四个小块，以此类推。四叉树可以用于空间索引、图形学、地理信息系统（GIS）等领域。

八叉树（Octree）：八叉树是四叉树的扩展，用于三维空间分割。它将一个三维区域划分为八个象限，每个象限进一步细分为八个小的三维体，以此类推。八叉树广泛应用于计算机图形学、虚拟现实、空间索引和机器学习等领域。

正交树（Orthtree）：正交树是一种用于二维或三维空间分割的数据结构，其特点是每个节点代表一个正交区域，即各边相互垂直。正交树的分割方式使得它对于某些特定的几何形状（如矩形或立方体）特别有效。正交树在计算机图形学、空间索引和科学计算等领域有应用。

1、介绍

四叉树是一种树形数据结构，其中每个节点都包含一个方形空间，每个内部节点都有四个孩子。八叉树是一种类似的3D数据结构，其中每个节点都包含一个立方体空间，每个内部节点都有八个孩子。

我们将这种数据结构的泛化称为“正交树”，因为正交体是四分体和八分体的泛化。在文献中也可以找到“超八分树”一词，用于命名4维及更高维度的此类数据结构。

此软件包提供了一个通用的数据结构 Orthtree 以及 Quadtree 和 Octree 的别名。这些树可以用自定义点范围和分割谓词构造，并使用各种遍历方法迭代。下图是从点云构造八叉树。

2、构造

使用一组点创建正交树。这些点不会被复制：直接使用提供的点范围，并由正交树重新排列。在创建正交树后更改点范围可能会使其处于无效状态。构造函数返回一个包含所有点的单个（根）节点的树。

必须调用 refine() 方法来进一步细分空间。此方法使用一个 split 谓词，该谓词以节点为输入，如果该节点应该被分割，则返回 true，否则返回 false：这使得用户可以选择正交树应该细分的标准。提供了预定义的谓词，如 Maximum_depth 或 Maximum_number_of_inliers。

创建正交树最简单的方法是使用点向量。构造函数通常需要单独的点范围和映射，但如果未提供点映射，则默认使用Identity_property_map。

分裂谓词是一个用户定义的函子，用于确定节点是否需要分裂。如果现有谓词不符合用户需求，可以很容易地定义自定义谓词。

2.1、构建四叉树

Orthtree 类可以用 Orthtree_traits_2 进行模板化，从而表现为四叉树。为方便起见，提供了别名 Quadtree。

以下示例显示了如何从 Point_2 对象的向量创建四叉树对象并对其进行细化，这意味着使用最大深度 10 和每个节点的最大内含线数（桶大小）5 来构造树的空间细分本身。一旦违反其中一个条件，细化就会停止：如果节点的内含线数大于桶大小，但已经达到最大深度，则不会进行分割。同样，深度小于最大深度但内含线数小于桶大小的节点也不会进行分割。

  Quadtree quadtree(points_2d);
  quadtree.refine(10, 5);

2.2、构建八叉树

Orthtree 类可以用 Orthtree_traits_3 模板化，从而表现为八叉树。为方便起见，提供了别名 Octree。

以下示例显示了如何从 Point_3 对象的向量创建八叉树。

  // Create an octree from the points
  Octree octree(points);
  // Build the octree
  octree.refine(10, 20);

3、遍历

为了简单起见，用户手册的其余部分将仅使用八叉树，但所有呈现的功能也适用于四叉树和更高维的正交树。遍历是在树的节点之间导航的行为。 Orthtree 和 Node 类为遍历树提供了许多不同的解决方案。

3.1、手动遍历

因为我们的正则树是一种连接的无环无向图，所以可以在任意两个节点之间导航。这在实践中意味着，给定树上的一个节点，可以使用正确的操作集访问任何其他节点。Node类提供了一些函数，使用户能够访问它的每个子节点以及它的父节点（如果存在的话）。

从根节点开始，可以使用下标运算CGAL::Orthtree::Node::operator[]()访问子节点。对于八叉树，0-7的值可以访问不同的子节点。

对于非根节点，可以使用 parent() 访问器访问父节点。

  std::cout << "the root node: " << std::endl;
  std::cout << octree.root() << std::endl;
  std::cout << "the first child of the root node: " << std::endl;
  std::cout << octree.root()[0] << std::endl;
  std::cout << "the fifth child: " << std::endl;
  std::cout << octree.root()[4] << std::endl;
  std::cout << "the fifth child, accessed without the root keyword: " << std::endl;
  std::cout << octree[4] << std::endl;
  std::cout << "the second child of the fourth child: " << std::endl;
  std::cout << octree.root()[4][1] << std::endl;
  std::cout << "the second child of the fourth child, accessed without the root keyword: " << std::endl;
  std::cout << octree[4][1] << std::endl;
  std::cout << std::endl;

3.2、前序遍历

能够以特定的顺序遍历树的节点通常很有用。例如，流运算符<<使用遍历来打印出每个节点。提供了几种遍历，其中包括Preorder_traversal和Postorder_traversal。以预序遍历树是立即访问每个父节点，然后访问其子节点，而在后序中，首先访问子节点。

  Octree octree(points, points.point_map());
  octree.refine();
  for (Octree::Node node : octree.traverse<Preorder_traversal>()) {
    std::cout << node << std::endl;
  }