今天来总结一下同济版高数中有关近似计算的例子，总的来说是如下的三种，有遗漏的话可以在评论区指出~ 

目录

一.微分在近似计算中的应用

二.全微分在近似计算中的应用

三.函数的幂级数展开在近似计算的应用

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一.微分在近似计算中的应用

本质原理是，近似计算出y值的改变量，然后近似计算函数值的改变量：核心的要点是建立出导数和函数的公式：

书上给出的“函数的微分”的定义用简单的话说就是：

某点处 y=f(x) 的自变量变化了 Δx ，那么如果函数值的变化量为 Δy=AΔx+o(Δx) ，则 Δy 的 线性主部 AΔx 就是函数在这点的 微分 dy .同时定义自变量 x 的微分就是 dx=Δx .

这里线性主部就是说的 Δy 中不可被忽略的一次函数的部分，

在等式 Δy=AΔx+o(Δx) 两侧同时除以 Δx ，很容易就可以解出 A=ΔyΔx=f′(x) 。这也就是说，函数的微分就是函数的导数乘以自变量的微分。比如说 d(sin⁡x)=(cos⁡x)dx 。也就是说函数的微分与自变量微分之比就是导数，因此，导数又被称为“微商”。

函数上任意一点的微分被称作函数的微分，记作 dy 或 df(x) .

从这里我们可以看出，如果函数在某点可微，那么一定可导，反之也成立。即可导是可微的【充要】 条件。

另外，值得注意的一点是，当 Δx→0 时， Δy∼dy 

微分的定义中只保留了 Δy 关于 Δx 的线性部分，而在 Δx 无穷小时，微分与函数值变化量又是等价无穷小，因此，我们认为微分是在微小的局部用直线来代替曲线。

对于一个线性函数，函数值的变化量等于斜率乘以自变量变化量，而微分恰好表示了某个线性函数在自变量变化了 Δx 时，因变量的变化量。不难发现，这个线性函数就是曲线的导函数。

因此可以得出，微分表示的是在自变量变化了 dx=Δx 时，这个函数的导函数变化量。

在计算某些数值时，自变量的值十分接近特殊值，但直接替换为特殊值误差又无法接受，这时候我们可以考虑利用微分来计算该值。

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二.全微分在近似计算中的应用

前者的二维升级版，对于幂指函数等含有两个位置变量的函数有效~

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三.函数的幂级数展开在近似计算的应用

类似泰勒公式的作用，具体的笔记可以翻阅宋浩老师的笔记系列~

        幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义。一个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点x0出的各阶导数，这是Taylor级数的优点。但从另一方面看，这又是它的缺点，因为求任意阶导数并不容易，而且许多函数难以满足这样强的条件。还应看到，若想取级数的前项和作为函数的近似值，则在离开展开点稍远一点的地方，取非常大才能使误差在所要求的限度内。