0-1背包问题详解

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0-1背包问题

部分一：问题描述

0-1背包问题是一类经典的组合优化问题，它出现在很多实际生活和工业环境中。问题描述如下：

假设你是一个冒险家，带着一个可承重的背包，面对一堆宝物。每件宝物都有自己的价值（用 $v_i$ 表示）和重量（用 $w_i$ 表示）。背包的总重量不可超过一定值 $W$ 。目标是试图将背包装满，使得装入背包的所有宝物的总价值最高。

在0-1背包问题中，每个物品只有一份并且只能全拿或者全不拿（即为什么称作0-1，0代表不拿，1代表拿）。

部分二：历史和介绍

0-1背包问题最早由贝尔实验室的Dantzig在1957年提出，用于描述货物装载问题，后来逐渐引入到算法领域，成为组合优化的重要问题。它是计算复杂度理论中NP-hard问题的经典案例。

部分三：为什么不用贪心算法？

理论上，贪心算法是可以用于求解此类问题的。然而，贪心算法仅在每个决策都是全局最优解的时候才能得出全局最优解。在背包问题中，以单个物品的"单位重量价值"（即价值/重量）作为贪心选择标准并不能保证找到全局最优解。例如，如果存在一个价值非常高但重量也非常大的物品，按照"单位重量价值"选择可能会导致无法装入更多总价值更高的轻量级物品。

部分四：实际解决方法

动态规划的核心思想是将大问题分解成小问题，并通过保存这些小问题的答案来避免重复计算。对于0-1背包问题而言，我们可以构建一个二维的动态规划数组dp[i][w]，其中i表示考虑到前i件物品时，w表示背包的当前重量。该数组的值将代表当前状态下的最大总价值。

以下是完整的实现：

# A Dynamic Programming based solution for 0-1 Knapsack problem

# Returns the maximum value that can be put in a knapsack of capacity W
def knapSack(W, wt, val, n):
    # Initial conditions:
    # If number of items 'n' is 0 or knapsack capacity 'W' is 0, maximum value is 0
    dp = [[0 for x in range(W + 1)] for x in range(n + 1)]
    
    # Build table dp[][] in bottom up manner
    for i in range(1, n + 1):
        for w in range(1, W + 1):
            # If weight of the nth item is more than Knapsack of capacity w, then
            # this item cannot be included in the optimal solution
            if wt[i-1] <= w:
                # dp[i][w] will be the max of two cases:
                # 1. nth item included
                # 2. not included
                dp[i][w] = max(val[i-1] + dp[i-1][w-wt[i-1]], dp[i-1][w])
            else:
                # If weight of the nth item is more than knapsack capacity w, then
                # the nth item cannot be included in the optimal solution
                dp[i][w] = dp[i-1][w]
    
    # The last element of the dp table will hold the result
    return dp[n][W]

# Example to use the above function:
val = [60, 100, 120]
wt = [10, 20, 30]
W = 50
n = len(val)

print(knapSack(W, wt, val, n))