18.行列式及其性质

1. 行列式：能表示方阵某些性质的一个数，方阵$A$的行列式记作$detA$或$|A|$

   在描述行列式时，方阵的中括号框一般会换为两条竖线

2. 行列式的性质（性质一二三即可定义行列式，较简单的结论不予证明）

   • 单位矩阵行列式为$1$

     • 置换矩阵的行列式为$1$或$-1$

   • 对方阵进行一次行交换，行列式就会变为相反数

   • 当两个方阵仅有一行不同时，让二者不同的那一行相加并放入其中一个方阵的原位置，这样得到的新方阵的行列式等于原来两个方阵行列式的和，即$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}^{{}^{\prime }}& b^{{}^{\prime }}\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a+a^{{}^{\prime }}& b+b^{{}^{\prime }}\\ c& d\end{array}\right|$

     • 将方阵中的某一行乘上一个实数，其行列式也会乘上这个实数

     • 对$n$阶方阵$A$有$detkA=k^{n}A$

   • 若某个方阵存在某个行是另一个行的倍数，它的行列式为$0$

     证明： ①若倍数不为$0$ ，设某一行为另一行的$k$倍，将前者除以$k$，则方阵的行列式也会除以$k$，这样就得到了一 个有一对相同行的方阵，将那一对相同行置换，依性质二可知方阵的行列式会变为置换前的相反数，而 相同行置换不会使方阵产生变化，所以置换前方阵行列式为$0$，因而最初的方阵行列式为$0k=0$

     ​    ②若倍数为$0$，即方阵中存在零行，那么该行无论乘上什么实数都不会使方阵行列式变化，又依性质三可 知该行乘上一个实数会使行列式也乘上这个实数，所以行列式为$0$

   • 不换行的消元不会改变行列式

     证明： 考虑其中一步操作，设该操作将$coli$变为$coli-kcolj$，依性质三可知该操作使得方阵的行列式减去了一个除$coli=kcolj$外其余行与原方阵一致的方阵的行列式，而该方阵中存在行的倍数关系，依性质四可知该方阵行列式为$0$，所以原方阵行列式不变

   • 上三角阵，下三角阵的行列式等于其主对角线上元素的乘积

     证明： 可将上三角阵进一步消元得到对角阵，考虑$I$如何变为该对角阵，需要将$I$的每一行都乘上一个倍数，依性质三可知这样会让$I$的行列式也挨个乘上这些倍数，从而可以得到对角阵的行列式是主对角线上元素的乘积，依性质五可知这就是上三角阵的行列式，下三角阵同理

     • 上三角阵，下三角阵和对角阵行列式一定不为$0$

     • 可通过将方阵消元为上三角阵从而求得行列式，但是消元过程中可能存在换行，所以原矩阵的行列式可能和上三角阵一致或互为相反数

   • 当且仅当方阵不可逆时其行列式为$0$

     证明： 可逆矩阵消元可以得到上三角阵，上三角阵行列式不为$0$，依性质五可知可逆矩阵行列式不为$0$

     ​    下证不可逆矩阵行列式为$0$

     ​    对于一个不可逆矩阵，找到它的一个可以被其他行线性组合得到的行，依照得到该行的线性组合方式和性质三，将原方阵的行列式表示为若干个方阵的行列式的和，不难发现这些方阵都存在行的倍数关系，依性质四可知它们的行列式都为$0$，所以原方阵行列式为$0$

   • 两个方阵积的行列式等于二者行列式的积

     证明： ①当两个方阵中存在不可逆矩阵时，二者的积也为不可逆矩阵，其行列式为$0$，而此时由于不可逆矩阵行列式为$0$，两个方阵行列式的积也为$0$，相等

     ​    ②当两个方阵均可逆时，它们都可以化为对角阵，两个对角阵的行列式的积即为两个主对角线上所有元素的积，而两个对角阵的积即为相同位置的元素相乘后放回原位得到的方阵，所以得到的方阵的行列式也为两个主对角线上所有元素的积

     • 某方阵的行列式的平方等于该方阵平方的行列式

     • 某方阵的逆的行列式等于该方阵行列式的倒数（可逆矩阵行列式不为$0$，不会出现分母为$0$的情况）

   • 转置前后行列式不变

     证明： ①不可逆矩阵转置后仍不可逆，行列式仍然为$0$

     ​    ②当方阵在消元时无需换行时，设可逆矩阵$A=LU$，则$A^T=U^T{L}^T$，而$L,U$分别为下三角阵和上三角 阵，转置前后主对角线上的元素不变，行列式不变，所以$detA=det{A}^T$

     ​    ③当需要换行时，仅比上一种情况多了一个置换矩阵，而置换矩阵的逆和转置一样，所以它的转置的行列式即为逆的行列式，即为原置换矩阵的行列式的倒数，又原置换矩阵行列式为$1$或$-1$，所以转置的行列式与原置换矩阵一致

     ​     设这个置换矩阵为$B$，有$A^{{}^{\prime }}=BLU$，则$(A^{{}^{\prime }}{)}^T=U^T{L}^T{B}^T$，又$B,L,U$转置前后行列式均不变，所以$A^{{}^{\prime }}$转置前后行列式也不变

     • 先前讲的有关行的性质全部对列有效（所以这个东西叫“行列式”）

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