1. Fourier级数(三角级数)的历史背景

2. 圆和复平面

3. Fourier的大胆猜想

1. Fourier级数(三角级数)的历史背景

自古以来，圆形一直是(现在仍然是）最简单的抽象理解形状。您只需要一个中心点和一个半径就可以了。圆上的所有点与圆心的距离都是固定的。然而，当你试图将这个优雅简单而又美丽的抽象结构(圆)与现实世界联系起来(例如，计算它的面积或周长)时，事情却变得异常困难(要达到理想的境界，几乎不可能)，因为涉及到非比率数π 。

理解Fourier级数(因此还有Fourier变换，最后是离散Fourier变换)的关键，也是我们的一个最古老的愿望——用圆或最简单优雅的抽象人类构造来表达一切。用一句形象的话说，我们天生需要通过用圆圈来描述周围的世界从而理解它。正如上一句中的“自古以来”一词所暗示的那样，Fourier(Jean-Baptiste Joseph Fourier，公元 1768 – 1830 年)并不是这样做的第一人。然而，是他第一次明确地指出，任何简单的波，无论是正弦波还是余弦被，都可以加在一起复制出任何类型的周期函数。今天，我们因他的名字而知道这个过程的主要原因是，他推导出了对他的观察进行逆向工程的巧妙方法: 设置Fourier级数以及所需的Fourier分析是发现所有收敛于目标函数的正弦波和余弦波所必需的过程；具体说来，一次设置，这个分析就包括导出多个圆的系数(圆的半径)和频率(在圆上的“旋转速度”)，采用这些圆的和去模拟任何通用(可积)周期函数。

与数学的大多数方面一样，这种用圆来解释一切的过程最初是出于天文学目的。当天文学家注意到火星(Mars)和其他外行星(outer planets)的轨道似乎不是一个简单的圆时(太空中的一切天体应该都是如此，并非只是一个简单的圆状)。在它们轨道上的某个时刻，这些行星的公转(revolution)会变慢、停止、后退一点(即所谓的逆行运动)，然后继续前进。

Ptolemy(公元90-168 年)提出的更正得到了最多的认同。他把行星置于本轮(Epicycles，即“周转圆”)或圆上，这些圆(即周转圆)的中心本身在一个以地球为中心的圆上旋转。最终，随着观测越来越精确，有必要添加越来越多的本轮，以解释行星的复杂运动。图 1(左)显示了 13 世纪后期水星本轮的示例描述。

-----------------------图1 本轮和 Fourier级数。左：Qutb al-Din al-Shirazi(公元 1236– 1311 年)展示了水星周转轮相对于“世界中心”的情况。中和右：如何添加更多本轮(或Fourier级数中的项)以逼近函数。右侧图像还可以使用动画展现---------------------------------

当然，我们现在知道，如果他们让地球从它在天空中央的宝座上退位，让太阳取而代之，一切都会变得更加简单和真实。但并没有足够的观察证据来改变当时的“专业共识(professional consensus)”，即这是少数人提出的这种激进观点。因此，伽利略时代之前的天文学家选择让地球处于中心位置，并找到对模型的修正(同时让天体保持纯粹的“圆形”秩序)。

我们给出这个可能偏离主题的历史背景的主要原因是提供历史证据，证明虽然这种“近似”确实有效并且出于实用原因而言非常有用(例如，根据天体的运动来测量日历)，但它们不提供物理洞察力(注：即不能从物理角度直观感受)。卷入Ptolemy世界观的天文学家们不得不在Ptolemy之后的几个世纪中添加大量的本轮，以解释更准确的观察结果。最后，伽利略用他的新仪器(望远镜)进行的观察为这种世界观敲响了丧钟。因此，天文学家和物理学家感兴趣的物理洞察力(与只喜欢证明、优化或计算的数学家和工程师相反！)来自于创造性，而不是将自己局限于这种近似，即便这种近似已经生效(注：论抽象思维和转换思想的重要性)。

Fourier级数只是一个长到令人生畏的函数，它将任何周期函数分解为一系列简单的正弦波和余弦波。这是一个难以理解的概念(baffling concept)，但几乎任何函数都可以表示为一系列由旋转圆产生的正弦波和余弦波。为了让您了解这种新观点的普遍性，请看下面的示例，我们严格使用附加的圆圈勾勒出一只鸟的轮廓：

------------图2 每个旋转的圆圈都会转化为简单的正弦波或余弦波------------------

Fourier级数的更大意义，在于它通过傅立叶变换应用于非周期函数，长期以来一直是数学物理、工程和信号处理的主要分析方法之一。Fourier级数是任何和所有数字信号处理的关键基础。 Fourier的工作激发了一直持续发展到现在的概括和应用。虽然Fourier级数的原始理论适用于自然波运动中出现的周期函数，例如光和声音，但它的推广涉及更广泛的设置，例如作为基础的时频分析, 小波分析和局部三角分析的最新理论。

2. 圆和复平面

在进行推导之前，回顾一下复数及其平面与我们上面讨论的圆的关系也很有用。图 3 中间和右侧的两个示意图显示了如何使用二维实面和虚面制作时间的一维函数。在每个时间点，我们取该点的垂直坐标，并用它来找到该时间点的函数值。图 3 显示了这种与标记轴的关系。

--------图3 两个时间快照时刻实(信号)，虚数单位(i≡ $\sqrt{i}$ )和时间轴之间的关系------

Leonhard Euler(公元 1707——1783 年)证明复指数函数( $e^{iv}$ ,其中，v是实数)是周期性函数且可以写成： $e^{iv}=cos(v) + i sin(v)$ (注：这个方程的其他形式在Euler之前就已为人所知。例如，在公元 1707 年(Euler出生那年)Abraham de Moivre(公元 1667- 1754 年)证明了 $[cos(x) + i sin(x)]^n = cos(nx) + i sin(nx)$ 。公元 1714 年，Roger Cotes(公元 1682-1716 年，牛顿的同事，校对了<<原理>>第二版)证明了：ix = ln(cos(x) + i sin(x))。因此，有 $e^{iv+2\pi}=e^{iv}$ 。后来，Caspar Wessel(数学家和制图师，公元 1745-1818 年)展示了如何将复数显示为平面上的向量。 Euler恒等式乍一看似乎有违直觉，因此我们将尝试用几何学来解释它(以获得更深入的物理洞察力)。在实虚二维平面上(如图 3 中每个方框的左侧图)，用i乘以一个数，可以解释为某个点按90度角旋转(例如，实轴上的3变成了虚轴上的3i)。在另一方面，根据Euler数 e 的常用定义公式 $e=\lim_{n->\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$ , 我们得到

$e^{u} = \lim_{n->\infty}{(1+\frac{1}{n})^{nu}}=\lim_{n->\infty}{(1+\frac{u}{nu})^{nu}}=\lim_{m->\infty}{(1+\frac{u}{m})^{m}}$ 。

取 u = iv, 其结果可以写成通用的复数(v的函数)：

$e^{iv}=\lim_{m->\infty}{(1+i\frac{u}{m})^{m}}=a(v) + i b(v)$ 。

对于v = π 这种情况，下面图4的几何动画很好地演示了其特性。我们可以看出， $\lim_{m->\infty}{a(\pi)}=-1$ , 而 $\lim_{m->\infty}{b(\pi)}=0$ , 这给出了著名的等式 $e^{i\pi}=-1$ 。最终值是实数-1，但是随着m→∞，遍历的多边形点的距离是圆的周长的一半或π(注：把圆看成单位圆)，显示了上面等式中的v如何可以解释为以弧度为单位的角度，因此，如何有 a(v)= cos(v) 和 b(v) = sin(v)。

--------------------------------图 4 ------------------------------------

因为 $e^{iv}$ 是周期函数(我们假设其周期为T )，将其写成 $v =\frac{2 \pi n}{T}t$ (注：其中，n为实数，表示第n个周期， $\frac{2 \pi}{T}$ 表示角频率，即周期内转过的弧度数，t为时间变量)更为清晰，因此， $e^{iv}=e^{i\frac{2\pi n}{T}t}$ ,这种记法的优点在于，周期(T )清晰可见。

正如我们从图 1 和图 2 中的示例中看到的那样，对于每个构成频率，我们需要一个相应的“量纲(magnitude)”或圆的半径，以便准确地逼近所需的一维函数。当使用诸如时间这样的时间单位时，“周期”和“频率”的概念相对容易理解，因为这是我们在日常生活中定义它们的方式。然而，在图像(天文数据)中，我们处理的是距离等空间单位。因此，一个“周期”是指信号相同的距离，频率定义为该空间“周期”的倒数。图 2 的复数圆可以被认为是月球围绕地球旋转，而地球又围绕太阳旋转；因此“真实(信号)”轴显示了随着时间的流逝，远处的观察者在太阳上看到的月球位置。由于时间的标量性质(没有任何方向或矢量)，图 2 用时间单位更容易理解。在考虑空间单位时，请将“时间(秒)”轴替换为“距离(米)”。因为长度是有方向的，是一个向量，所以可视化假想圆的旋转和沿“距离(米)”轴的前进，并不像时间这样的时间单位那么简单。

3. Fourier的大胆猜想

在 1800 年代初期，Fourier(与其他人一起)试图用数学方法去描述受某些初始条件和边界条件影响的有限长度的均匀棒中的热传导过程。Fourier的方法要求，在某个固定时间均匀棒中位置 x 处的温度 u(x)表示为

$u(x) = a_0 + a_1cos(cx) + b_1sin(cx) + a_2cos(2cx) + b_2sin(2cx) + a_3cos(3cx) + b_3sin(3cx) + ...$

--------------------------------------------------------------------------------------- (3.1)

其中，c 是π 除以棒的长度， $a_k$ 和 $b_k$ 是将 u 的这种表示形式代入热流模型方程后确定的常数( $a_k$ 和 $b_k$ 实际上是时间的函数)。

Fourier的方法是成功的，用正弦和余弦表示函数的想法最终导致了许多非常有用的数学学科的发展。

Fourier处理函数u(x)的方式非常类似于我们通常处理三维向量V的方式。大体来说，V只不过是拥有“长度”和“方向”的某种实体。但是，很少有直接使用向量的长度或方向进行向量计算的。在实际应用中，这种计算通常是采用计算向量的分量(components) $( v_1 , v_2 , v_3 )$ 来完成的。例如，向量V的长度通常采用分量公式

$|V| = \sqrt{v_{1}^{2}+ v_{2}^{2}+ v_{3}^{2} }$ (3.2)

来计算。V 是标准基(standard basis){i,j,k}的向量线性组合的唯一表达式，这些分量是V中的系数。由于每一个向量都可以如此表达，且{i,j,k}一个特别好的基(因为其所有元素相互正交(译注：即方向上没有任何相似性，几何上表现为互相垂直)且都为单位长度)，大部分的向量计算都可以归结为每个向量的三个独立分量的计算。事实上，很难想象没有这些分量如何做向量分析。

公式 (3.1) 和 (3.2) 的相似性意义重大。在每个公式中，都有一个相当普遍的实体——公式(3.2)中的向量V ，公式(3.1)中的函数u(x)——称为(可能是无限的)“基础实体(basic entities)”的线性组合。在公式(3.2)中这些基础实体是i,j,和k ，它们是三维向量空间的标准基向量(standard basic vectors),而在公式(3.1)中，这些标准基向量是正弦函数和余弦函数(注：因为 cos(0.cx) = 1，我们可以将(3.1)中的 a0 项视为 a0cos(0.cx))。在某种意义上，(3.1)指的是函数u(x)可以表示成“分量形式” $(a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,...)$ ，且表明，某些涉及u(x)的操作可以归结为更简单的涉及这些分量的计算。

这给了我们启示。我们的目标是开发一种用于操纵和分析函数的理论，该理论类似于我们已经用于操纵和分析二维和三维空间中的向量的理论。对于我们的“基础函数”，我们将使用正弦和余弦。当然，这是假定所有合理的函数都可以表示为正弦和余弦的线性组合。这是一个大胆的假设。而且，在这一点上，我们没有真正的理由相信它是有效的！因此，也许我们应该将其称为：Fourier的大但猜想(Fourier's Bold Conjecture)——任何“合理的”函数都可以表示成(可能是无限的)正弦函数和余弦函数的线性组合。

如果Fourier猜想是正确的，那么我们应该能够通过将未知函数表示为著名的正弦和余弦函数的线性组合来简化许多问题(例如，在数学上预测给定时间沿给定棒的温度分布的问题)。幸运的话，这些线性组合中的系数将相对容易确定，例如，通过将表达式代入适当的方程式并求解一些由此产生的代数方程式。

自然，事情并没有那么简单。一方面，我不能肯定地告诉你Fourier猜想是完全有效的，至少在我们更好地确定函数“合理性”的含义之前是这样。但事实证明这个猜想足够接近真相，可以作为我们研究的起点，并且确定这个猜想在多大程度上是有效的，将是我们主要目标之一。而且，当然，只要有可能，我们就会想知道如何计算任何给定(合理)函数的“分量”，以及如何在我们感兴趣的操作中使用这些分量(例如，微分，寻找各种问题的解决方案)微分方程和估算函数）。

由于正弦函数和余弦函数是周期函数，因此首先考虑周期函数是合乎逻辑的。这将导致经典的Fourier级数。我们还将看到针对周期函数开发的分析可以应用于在有限区间上定义的函数。在尝试将分析扩展到实数线上的非周期函数时，我们将发现经典的Fourier变换。沿着这些思路继续下去，最终将导致广义函数和广义Fourier变换。最后，我们将考虑必须进行的适配，以便我们可以处理仅通过测量获取的数据集已知的函数。这将引出Fourier分析的离散理论。

顺便说一句，不要指望Fourier分析只是“带函数的矢量分析”。坦率地说，随着主题素材的演进，Fourier分析和矢量分析之间的类比对大多数读者来说似乎越来越微不足道。