多元函数奇偶性

多元函数的定义域

• 定义域根据函数的变量数不同,有不同的形式
  • 一元函数$y=f(x)$,定义域可以是数集
  • 二元函数$z=f(x,y)$,定义域可以是一平面区域,是平面点集
  • 三元函数$v=f(x,y,z)$,定义域是一块空间区域,是空间点集
  • …
  • $n$圆函数,定义域为$n$维点集

自然定义域

• 根据仅根据表达式本身是否有意义来判定定义域
  • 比如分式中分母不为0
  • 偶次根式内不可为负数
  • 对数函数的真数为正数

特定定义域

• 根据实际需要或者认为规定的的区域,比如给定积分区域(积分限)

$n$元函数

• $y$是一个$n$元函数,记为$y=f(x_1,x_2,\cdots ,x_i,\cdots ,x_n)$

  • 其中$x_i$表示函数$f$的第$i$个自变量

奇偶性

• 一般讨论的是关于某个自变量$x_i$的奇偶性
• 设$n$元函数$y=f(x_1,x_2,\cdots ,x_i,\cdots ,x_n)$,$f$是关于$x_i$的偶函数,则$f(x_1,x_2,\cdots ,\underline{-x_i},\cdots ,x_n)$=$f(x_1,x_2,\cdots ,\underline{x_i},\cdots ,x_n)$
• 若$f$是关于$x_i$的奇函数$f(x_1,x_2,\cdots ,\underline{-x_i},\cdots ,x_n)$=$-f(x_1,x_2,\cdots ,\underline{x_i},\cdots ,x_n)$

一元函数

• $y=f(x)$
  • 若$f(x)$为偶函数:$f(-x)=f(x)$关于$x=0$($y$轴)对称
  • 若$f(x)$维奇函数:$f(-x)=-f(x)$,关于$(0,0)$(原点)对称

二元函数

• $z=f(x,y)$

  • 以分量$x$为例

    • 奇函数:$f(-x,y)=-f(x,y)$,函数关于点$(0,y,0)$对称
      • 设$P(x,y,z)$是$f(x,y)$上的点,$z=f(x,y)$,而$f(-x,y)$=$-f(x,y)$=$-z$
      • 则$Q(-x,y,-z)$也位于$f(x,y)$上
      • $P,Q$两点的位置关系?
        • 方法1:
          • 显然两个点有相同的$y$轴坐标,从而它们必然同时位于平面$y=y$上
          • 并且两个点有互为相反数的$x,y$轴坐标,$P$位于平面$x=x,z=z$两平面交线上,而$Q$位于$x=-x,y=-y$两平面的交线上,这两条交线关于原点(或$y$轴)对称,分别和平面$y=y$所截,得到$P,Q$两点
          • 因此$P,Q$两点关于$(0,y,0)$对称
        • 方法2:
          • 由两点间坐标公式,$(\frac{-x+x}{2},\frac{y+y}{2},\frac{z-z}{2})$=$(0,y,0)$,可知$P,Q$两点关于$M(0,y,0)$对称
          • $M$点位于直线$x=0,z=0$上(即$y$轴上)
          • 因此$P,Q$两点关于$(0,y,0)$对称
      • 因此,函数$f(x,y)$的图形关于$y$轴对称
    • 偶函数:$f(-x,y)=f(x,y)$,函数关于平面$x=0$对称
      • 设$P(x,y,z)$是$f(x,y)$上的点,$z=f(x,y)$,而$f(-x,y)$=$f(x,y)$=$z$
      • 则$Q(-x,y,z)$也位于$f(x,y)$上
      • 由中点坐标公式:$P,Q$的中点为$(0,y,z)$,该点属于平面$x=0$
      • $P,Q$两点关于$x=0$(即坐标面$yOz$面)对称
      • 因此函数$f(x,y)$的图形关于$x=0$面对称

  • 分量$y$类似地讨论

小结

• 在一元函数$y=f(x)$中,偶函数是关于直线$(x=0)$对称,而奇函数关于点$(0,0)$,即$x=0,y=0$对称
  • 点表示为$(x,y)$
• 在二元函数$z=f(x,y)$中,偶函数是关于面对称,而奇函数关于直线对称
  • 点表示为$(x,y,z)$
  • 以自变量$x$为例,关于$x$的偶函数图形关于$x=0$面对称,奇函数图形关于$x=0,z=0$,即$y$轴
  • 而对于自变量$y$,关于$y$的偶函数图形关于$y=0$面对称,奇函数图形关于$y=0,z=0$,即$y$轴
• 也就是说,对称中心都上升了一个维度,从点到线,从线到面
• 本质上都是两点关于它们的中点对称,分析中点的特点来判断对称中心是什么

结论分析和记忆👺

• 对于一元奇(偶)函数为,自变量轴为$x$轴
• 自变量$x$沿着从原点(或正区间内第一点有定义的$x_0$处)开始,分析曲线变化
  • 若$f(x)$是奇函数,$x$向$x$轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相反
  • 若$f(x)$是偶函数,$x$向$x$轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相同(对称)
• 对于二元奇(偶)函数,自变量设为$x,y$,分析曲面的变化情况
  • 若$f(x,y)$是关于$x$的奇函数,$x$向$x$轴正方向进行的变换情况与负方向的变化情况相反
  • 若$f(x,y)$是关于$x$偶函数,$x$向$x$轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相同(对称)

推广

• 更一般的
  • 对于$n$元函数$w=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$,视为$n+1$维空间,将写维点的形式:$(x_1,x_2,\cdots ,x_n,w)$
  • 若$f$关于自变量$x_i$为奇函数(以$i=1$为例),那么$P(x_1,x_2,\cdots ,x_n,w)$,$Q(-x_1,x_2,\cdots ,x_n,-w)$,其对称中心点为$M(0,x_2,\cdots ,x_n,0)$,对称中心为超平面$x_1=0,w=0$;(即令第$i$维自变量取0和最后意味取$0$)
  • 若$f$关于自变量$x_i$为偶函数(以$i=1$为例),那么$P(x_1,x_2,\cdots ,x_n,w)$,$Q(-x_1,x_2,\cdots ,x_n,w)$,其对称中心点为$M(0,x_2,\cdots ,x_n,w)$,对称中心为超平面$x_1=0$
  • 当$i\ne 1$时,情形类似

应用和实例

例

• $f(x,y)$=$y{x}^2$,假设$f$的定义域(区域)是关于$x,y$轴对称的区域(比如其自然定义域下)
  • 那么显然,$f$关于$y$是奇函数;图形关于$x$轴对称
  • 同时$f$是关于$x$的偶函数,图形关于$x=0$平面对称
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二元绝对值不等式确定的区域

• $\underset{D}{\iint }(|x|+y{e}^{x^2})\mathrm{d}\sigma$,$(D:|x|+|y|=1)$

• 二元一次绝对值方程对应的草图

  • 对于$g(x,y)=|x|+|y|=1$,前去绝对值

    • $|x|=x$,$(x⩾0)$;$|x|=-x$,$(x<0)$
    • $|y|=y$,$(y⩾0)$,$|y|=-y$,$(y<0)$

  • 得到四个二元一次方程:在平面直角坐标系$xOy$中对应于4条直线段

    • $$1=\{\begin{array}{ll}-x-y,& x<0,y<0\\ -x+y& x<0,y⩾0\\ x-y,& x⩾0,y<0\\ x+y,& x⩾0,y⩾0\end{array}$$

  • 四条直线段所在直线分别转换为斜截式:$y=-x-1$;$y=x+1$;$y=-x-1$;$y=1-x$

• 将他们分别绘制,得到一个边长为1的正方形(菱形)

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