2019 年 1 月份管综初数真题
一、问题求解（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 45 分）下列每题给出 5 个选项中，只有一个是符合要求的，请在答题卡上将所选择的字母涂黑。
1、某车间计划 10 天完成一项任务，工作 3 天后因故停工 2 天。若要按原计划完成任务，则工作效率需要提高（ ）
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
E.60%
工程问题
设工作效率需要提高x，原工作效率为
1
10
\frac{1}{10}
101 ，根据题意，得
1
10
×
3
+
1
10
×
(
1
+
x
)
×
5
=
1
\frac{1}{10}×3+\frac{1}{10}×(1+x)×5=1
101×3+101×(1+x)×5=1，解得：x=40%
2、设函数
f
(
x
)
=
2
x
+
a
x
2
(
a
＞
0
)
f(x)=2x+\frac{a}{x^2}(a＞0)
f(x)=2x+x2a(a＞0) 内
(
0
,
+
∞
)
(0,+∞)
(0,+∞)的最小值为
f
(
x
0
)
=
12
f(x_0)=12
f(x0)=12，则
x
0
x_0
x0=( )
A.5
B.4
C.3
D.2
E.1
f
(
x
)
=
2
x
+
a
x
2
=
x
+
x
+
a
x
2
≥
3
x
⋅
x
⋅
a
x
2
3
=
3
a
3
f(x)=2x+\frac{a}{x^2}=x+x+\frac{a}{x^2}≥3\sqrt[3]{x·x·\frac{a}{x^2}}=3\sqrt[3]{a}
f(x)=2x+x2a=x+x+x2a≥33x⋅x⋅x2a=33a
故当
x
=
x
=
a
x
2
x=x=\frac{a}{x^2}
x=x=x2a时，f(x)取得最小值，即有
{
x
0
=
a
x
0
2
f
(
x
0
)
=
3
a
3
=
12
\begin{cases} x_0=\frac{a}{x_0^2} \\ f(x_0)=3\sqrt[3]{a}=12 \end{cases}
{x0=x02af(x0)=33a=12
解得：
x
0
=
4
x_0=4
x0=4
3、某影城统计了一季度的观众人数，如图，则一季度的男女观众人数之比为（ ）
A.3：4
B.5：6
C.12：13
D.13：12
E.4：3
【解析】母题99·图像图表问题＋母题92·比例问题
观察图像，可知一季度男观众的总人数为5＋4＋3=12(万人)，女观众的总人数为6＋3＋4=13(万人)
则一季度的男、女观众人数之比为12∶13
4、设实数 a, b 满足 ab = 6 ， ∣ a + b ∣ + ∣ a − b ∣ = 6 |a+b|+|a-b|=6 ∣a+b∣+∣a−b∣=6 ，则 a 2 + b 2 a^2+b^2 a2+b2 =（ ）
A.10
B.11
C.12
D.13
E.14
【解析】母题13·绝对值方程和绝对值不等式
由题意知目的是求
a
2
+
b
2
a^2+b^2
a2+b2的值，故a，b的大小关系不影响结果。
又由ab=6知，a,b同号。不妨设a>b＞0，则已知条件可转化为。解得a=3，b=2。
满足所给条件，可得
a
2
+
b
2
=
13
a^2+b^2=13
a2+b2=13。故应选(D).
【快速得分法】特殊值法，易观察可令a=3，b=2。
5、设圆C与圆
（
x
−
5
）
2
+
y
2
=
2
（x-5）^2+y^2=2
（x−5）2+y2=2关于
y
=
2
x
y=2x
y=2x 对称，则圆 C 方程为（ ）
A.
（
x
−
3
）
2
+
（
y
−
4
）
2
=
2
（x-3）^2+（y-4）^2=2
（x−3）2+（y−4）2=2
B.
（
x
+
4
）
2
+
（
y
−
3
）
2
=
2
（x+4）^2+（y-3）^2=2
（x+4）2+（y−3）2=2
C.
（
x
−
3
）
2
+
（
y
+
4
）
2
=
2
（x-3）^2+（y+4）^2=2
（x−3）2+（y+4）2=2
D.
（
x
+
3
）
2
+
（
y
−
3
）
2
=
2
（x+3）^2+（y-3）^2=2
（x+3）2+（y−3）2=2
E.
（
x
+
3
）
2
+
（
y
−
4
）
2
=
2
（x+3）^2+（y-4）^2=2
（x+3）2+（y−4）2=2
对称问题
圆
(
x
−
5
)
2
+
y
2
=
2
(x-5)^2+y^2=2
(x−5)2+y2=2的圆心为（5,0），关于直线y=2x的对称点设为（x,y），则
{
y
2
=
2
⋅
x
+
5
12
，
y
x
−
5
=
−
1
2
,
\begin{cases} \frac{y}{2}=2·\frac{x+5}{12}， \\ \frac{y}{x-5}=-\frac{1}{2}, \end{cases}
{2y=2⋅12x+5，x−5y=−21,
解得：
{
x
=
−
3
y
=
4
\begin{cases} x=-3 \\ y=4 \end{cases}
{x=−3y=4
所以圆C的方程为
(
x
+
3
)
2
+
(
y
−
4
)
2
=
2
(x+3)^2+(y-4)^2=2
(x+3)2+(y−4)2=2
6、将一批树苗种在一个正方形花园边上，四角都种，如果每隔 3 米种一棵，那么剩下 10棵树苗；如果每隔 2 米种一棵，那么恰好种满正方形的 3 条边，则这批树苗有（）棵。
A.54
B.60
C.70
D.82
E.94
【解析】母题90·简单算术应用题(植树问题)设正方形的边长为c,则
若每隔3米种一棵树，则每条边种
x
3
+
1
\frac{x}{3}+1
3x+1棵树，但四角有重合，故共
4
(
x
3
+
1
)
−
4
4(\frac{x}{3}+1)-4
4(3x+1)−4棵树.
若每隔2米种一棵树，则每条边种
x
2
+
1
\frac{x}{2}+1
2x+1棵树，但两角有重合，故共
(
x
2
+
1
)
⋅
3
−
2
(\frac{x}{2}+1)·3-2
(2x+1)⋅3−2棵树。
设树苗共有y棵，则有
{
4
(
y
2
+
1
)
−
4
=
y
−
10
，
(
x
2
+
1
)
⋅
3
−
2
=
y
,
\begin{cases} 4(\frac{y}{2}+1)-4=y-10， \\ (\frac{x}{2}+1)·3-2=y, \end{cases}
{4(2y+1)−4=y−10，(2x+1)⋅3−2=y,
解得x=54,y=82
7、在分别标记 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片，甲抽取一张，乙从余下的卡片中再抽取 2 张，乙的卡片数字之和大于甲的卡片数字的概率为（）
A.
11
60
\frac{11}{60}
6011
B.
13
60
\frac{13}{60}
6013
C.
43
60
\frac{43}{60}
6043
D.
47
60
\frac{47}{60}
6047
E.
49
60
\frac{49}{60}
6049
【解析】母题82·古典概型方法一：采用穷举法.
当甲抽取卡片1时，乙有
C
5
2
=
10
C_5^2=10
C52=10(种)选法；
当甲抽取卡片2时，乙有
C
5
2
=
10
C_5^2=10
C52=10(种)选法；
当甲抽取卡片3时，乙有9种选法；
当甲抽取卡片4时，乙有8种选法；
当甲抽取卡片5时，乙有6种选法；
当甲抽取卡片6时，乙有4种选法。
以上合计47种选法。
总的事件数为
C
5
1
C
5
2
=
60
C_5^1C_5^2=60
C51C52=60(种)，故所求概率为
47
60
\frac{47}{60}
6047。
方法二：求对立事件
事件总数为
C
5
1
C
5
2
=
60
C_5^1C_5^2=60
C51C52=60(种).
如果甲抽取卡片6，则乙的卡片数字之和小于等于甲的情况有(5,1),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(1,2),共6种；
如果甲抽取卡片5，则乙的卡片数字之和小于等于甲的情况有(4,1),(3,2),(3,1),(1,2),共4种；
如果甲抽取卡片4，则乙的卡片数字之和小于等于甲的情况有(3,1),(1,2),共2种；
如果甲抽取卡片3，则乙的卡片数字之和小于等于甲的情况有(1,2)，共1种。
故所求概率=
1
−
6
+
4
+
2
+
1
60
=
47
60
1-\frac{6+4+2+1}{60}=\frac{47}{60}
1−606+4+2+1=6047，故选(D).
8、10 名同学的语文和数学成绩如表
| 语文成绩 | 90 | 92 | 94 | 88 | 86 | 95 | 87 | 89 | 91 | 93 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 数学成绩 | 94 | 88 | 96 | 93 | 90 | 85 | 84 | 80 | 82 | 98 |
语文和数学成绩的均值分别为
E
1
E_1
E1 和
E
2
E_2
E2 ，标准差分别为
σ
1
σ_1
σ1和
σ
2
σ_2
σ2，则
A.
E
1
＞
E
2
，
σ
1
＞
σ
2
E_1＞E_2，σ_1＞σ_2
E1＞E2，σ1＞σ2
B.
E
1
＞
E
2
，
σ
1
＜
σ
2
E_1＞E_2，σ_1＜σ_2
E1＞E2，σ1＜σ2
C.
E
1
＞
E
2
，
σ
1
=
σ
2
E_1＞E_2，σ_1=σ_2
E1＞E2，σ1=σ2
D.
E
1
＜
E
2
，
σ
1
＞
σ
2
E_1＜E_2，σ_1＞σ_2
E1＜E2，σ1＞σ2
E.
E
1
＜
E
2
，
σ
1
＜
σ
2
E_1＜E_2，σ_1＜σ_2
E1＜E2，σ1＜σ2
【解析】母题99·图像图表问题＋母题18·平均值与方差E=90十92十94千88千8095T87T89T91T=90.5;
10
E一94十88十96十93+9085千84T80T82=89.
10
显然E≥>E,通过观察可知语文成绩的离散程度小于数学成绩,故有o<2.或者通过计算方差也可得出答案.
=六×[(90—90.5)“+(92—90.5)3+(94一90.5)3+(89一90.5)3+(91一90.5)3+
(93-90.5)2+(88—90.5)2+(86-90.5)2+(95—90.5)2+(87—90.5)”]=六×(.5*+1.54+3.5’十1.5十0.53十2.53十2.53十4.53十4.53+3.52)=8.25.o=1×[(94-89)+(88—89)+(96一89)2+(93—89)2+(90—89)3＋(85—89)2＋
(84—89)2+(80-89)2＋(82—89)2+(98—89)2]
-o×(5’+1+7+4+1+4+53+93＋73+93)=34.4.
故选(B).
9、如图，正方体位于半径为 3 的球内，且一面位于球的大圆上，则正方体表面积最大为（）
A.12
B.18
C.24
D.30
E.36
10、某中学的 5 个学科各推荐 2 名教师作为支教候选人，若从中选出来自不同学科的 2 人参加支教工作，则不同的选派方式有( )种
A. 20
B. 24
C. 30
D. 40
E. 45
11、某单位要铺设草坪，若甲、乙两公司合作需 6 天完成，工时费共 2.4 万元。若甲公司单独做 4 天后由乙公司接着做 9 天完成，工时费共计 2.35 万元。若由甲公司单独完成该项目，则工时费共计（）万元
A.2.25
B.2.35
C.2.4
D.2.45
E.2.5
12、如图，六边形 ABCDEF 是平面与棱长为 2 的正方体所截得到的，若 A，B，D，E 分别为相应棱的中点，则六边形 ABCDEF 的面积为（）
A.
3
2
\sqrt{3\over2}
23
B.
3
\sqrt{3}
3
C.
2
3
2\sqrt{3}
23
D.
3
3
3\sqrt{3}
33
E.
4
3
4\sqrt{3}
43
13、货车行驶 72km 用时 1 小时，速度V 与行驶时间t 的关系如图所示，则
V
o
=
V_o=
Vo=
A.72
B.80
C.90
D.85
E.100
14、在三角形 ABC 中， AB =4, AC =6, BC =8 ，D 为BC 的中点，则 AD =（ ）
A.
11
\sqrt{11}
11
B.
10
\sqrt{10}
10
C.3
D.
2
2
2\sqrt{2}
22
E.
7
\sqrt{7}
7
15、设数列{
a
n
{a_n}
an}满足
a
1
=
0
,
a
n
+
1
−
2
a
n
=
1
a_1=0,a_{n+1}-2a_n=1
a1=0,an+1−2an=1，则
a
100
=
a_{100}=
a100=（）
A.
2
99
−
1
2^{99}-1
299−1
B.
2
99
2^{99}
299
C.
2
99
+
1
2^{99}+1
299+1
D.
2
100
−
1
2^{100}-1
2100−1
E.
2
100
+
1
2^{100}+1
2100+1
二．条件充分性判断：第 16-25 小题，每小题 3 分，共 30 分。
要求判断每题给出的条件（1）和（2）能否充分支持题干所陈述的结论 A、B、C、D、E 五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断，请在答题卡上将所选的字母涂黑。
（A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C） 条件（1）和（2）都不充分，但联合起来充分
（D） 条件（1）充分，条件（2）也充分
（E） 条件（1）不充分，条件（2）也不充分，联合起来仍不充分
16、甲、乙、丙三人各自拥有不超过 10 本图书，甲再购入 2 本图书后，他们拥有的图书量构成等比数列，则能确定甲拥有图书的数量
(1) 已知乙拥有的图书数量
(2) 已知丙拥有的图书数量
17、有甲乙两袋奖券，获奖率分别为 p 和q ，某人从两袋中各随机抽取 1 张奖券，则此人获奖的概率不小于 3 2 \frac{3}{2} 23
(1) 已经 p + q = 1 p + q = 1 p+q=1
(2) 已知 p q = 1 4 pq=\frac{1}{4} pq=41
18、直线 y = k x y =kx y=kx 与圆 x 2 + y 2 − 4 x + 3 = 0 x^{2}+ y^2−4x+3 =0 x2+y2−4x+3=0 有两个交点
（1） − 3 3 ＜ k ＜ 0 -{\sqrt{3}\over3}＜k＜0 −33＜k＜0
（2） 0 ＜ k ＜ 2 2 0＜k＜{\sqrt{2}\over2} 0＜k＜22
19、能确定小明年龄
（1）小明年龄是完全平方数
（2）20年后小明年龄是完全平方数
20、关于 x 的方程 x 2 + a x + b = 1 x^2+ax+b=1 x2+ax+b=1有实根
(1) a +b =0
(2) a −b =0
21、如图，已知正方形 ABCD 面积，O 为 BC 上一点，P 为 AO 的中点，Q 为 DO 上一点，则能确定三角形 PQD 的面积。
（1）O 为 BC 的三等分点
（2）Q 为 DO 的三等分点
22、设 n 为正整数，则能确定n 除以 5 的余数
(1) 已知 n 除以 2 的余数
(2) 已知n 除以 3 的余数
23、某校理学院五个系每年录取人数如下表：
| 系数 | 数学系 | 物理系 | 化学系 | 生物系 | 地学系 |
|---|---|---|---|---|---|
| 录取人数 | 60 | 120 | 90 | 60 | 30 |
今年与去年相比，物理系平均分没交，则理学院录取平均分升高了。
(1) 数学系录取平均分升高了 3 分，生物系录取平均分降低了 2 分
(2) 化学系录取平均分升高了 1 分，地学系录取平均分降低了 4 分
24、设三角区域D由直线 x + 8 y − 56 = 0 , x − 6 y + 42 = 0 x+8y-56=0,x-6y+42=0 x+8y−56=0,x−6y+42=0与 k x − y + 8 − 6 k = 0 ( k ＜ 0 ) kx-y+8-6k=0(k＜0) kx−y+8−6k=0(k＜0)围成，则对任意的 ( x , y ) (x,y) (x,y)， l g ( x 2 + y 2 ) ≤ 2 lg(x^2+y^2)≤2 lg(x2+y2)≤2
（1）
k
∈
(
−
∞
,
−
1
]
k∈(-∞,-1]
k∈(−∞,−1]
（2）
k
∈
[
−
1
,
−
1
8
)
k∈[-1,-{1\over8})
k∈[−1,−81)
25、设数列{
a
n
a_n
an}的前n项和为
S
n
S_n
Sn，则{
a
n
a_n
an}等差
（1）
S
n
=
n
2
+
2
n
,
n
=
1
,
2
,
3
S_n=n^2+2n,n=1,2,3
Sn=n2+2n,n=1,2,3
（2）
S
n
=
n
+
2
n
+
1
,
n
=
1
,
2
,
3
S_n=n^+2n+1,n=1,2,3
Sn=n+2n+1,n=1,2,3
【解析】母题51·等差数列与等比数列的判定
条件（1）：
a
=
S
.
−
S
.
1
=
n
2
十
2
n
−
(
n
—
1
)
2
—
2
(
n
−
1
)
=
2
n
十
1
a=S.-S.1=n2十2n-(n—1)2—2(n-1)=2n十1
a=S.−S.1=n2十2n−(n—1)2—2(n−1)=2n十1，得
a
n
+
1
—
a
=
2
an+1—a=2
an+1—a=2，又
a
=
S
=
3
a=S=3
a=S=3，故条件(1)充分。
条件（2）：
a
=
S
.
−
S
.
−
1
=
n
十
2
n
十
1
一
(
n
—
1
)
2
一
2
(
n
—
1
)
−
1
=
2
n
十
1
a=S.-S.-1=n十2n十1一(n—1)2一2(n—1)-1=2n十1
a=S.−S.−1=n十2n十1一(n—1)2一2(n—1)−1=2n十1，得
a
=
3
a=3
a=3,又
S
=
12
＋
2
×
1
＋
1
=
4
≠
3
=
a
S=12＋2×1＋1=4≠3=a
S=12＋2×1＋1=4=3=a，故条件(2)不充分。
【快速得分法】等差数列的
S
n
S_n
Sn形如一个没有常数项的一元二次函数，故条件(1)充分，条件(2)不充分，故选(A).
2019年1月管理类联考数学参考答案
1-5 CBCDE
6-10 DDBED
11-15 EDCBA
16-20 CDACC
21-25 BECAA
