343. 整数拆分

思路：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

2. 确定递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j))

   可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？

   其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

   一个是j * (i - j) 直接相乘。

   一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)。

3. dp数组如何初始化：dp[0] dp[1] 不应该初始化，没有意义的数值。dp[2] = 1

4. 确定遍历顺序：dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。

5. 举例推导dp数组

举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] *(n+1)
        dp[2] = 1

        # 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
        # 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
        # 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
        for i in range(3,n+1):
            for j in range(1,i):
                dp[i] = max(dp[i],j*(i-j),j*dp[i-j])
        return dp[n]

96.不同的二叉搜索树

n为1的时候有一棵树，n为2有两棵树，这个是很直观的。

可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。

dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

如图所示：

思路 ：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

2. 确定递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]

   dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

3. dp数组如何初始化：dp[0] = 1

4. 确定遍历顺序：遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历

5. 举例推导dp数组

n为5时候的dp数组状态如图：

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        dp = [0 for _ in range(n+1)]
        dp[0] = 1
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(1,i+1):
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j]
        return dp[n]