前言

我们好久没有更新数据结构的博文了，今天来更新一期树！前几期我们已经介绍了顺序表、链表，栈和队列等基本的线性数据结构并对其分别做了实现，本期我们再来介绍一个灰常重要的非线性基本结构 ---- 树型结构。

本期内容介绍

树的概念和结构

二叉树的概念和结构

一、树的概念和结构

树的概念

树是一种非线性（逻辑上非连续）的数据结构，它是由n（n >= 0）个有限结点组成的一个具有层次关系的集合！把他称为树是因为它的逻辑结构和一颗倒挂的树相似！

注意点：

（1）树中有一个特殊的结点被称为根节点，根节点没有前驱结点

（2）除了根节点以外，其余结点被分成了M（M > 0）个互不相交的集合（即子树之间不能相交）！其中每个集合又是一颗结构与树类似的子树！每颗子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继！

所以综上树是更合适用递归定义的！

OK，画个图来理解一下：

注意：

树形结构中，子树与子树是不能相交的，如果相交就是我们后期介绍的图了！

除了根结点外，其余结点有且只有一个父节点

一个N个节点的树有N-1条边

树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数被称为该节点的度；

叶子节点（终端节点）：度为0的节点称为叶子结点；

非终端节点（分支节点）：度不为0的节点；

父亲节点（双亲节点）：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

子节点（孩子节点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为心底节点；

树的度：一棵树中，最大节点的度被称为树的度。

节点的层次：从根节点开始定义第一层，根的子节点为第二层，依次类推！

树的高度（深度）：树中节点的最大层次；

堂兄弟节点：双亲在同层的节点互成称堂兄弟节点；

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树结构相较于线性结构就复杂了，要存储起来也比较麻烦！既要存储值域，也要存储结点之间的关系！树的表示方式有很多种例如：双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子双亲表示法！

这里大概介绍一下，后面重要的会在介绍例如双亲表示法（并查集）和孩子表示法（图的邻接表）！

双亲表示法是：用数组存储每个节点，每个节点中存入他们的父亲节点的下标！

孩子表示法：采用顺序表个链表进行存储，顺序表存各个节点，每个节点中保存第一个孩子的头指针

这些其实都不是最优结构，最优结构是下面我要介绍的这个----孩子兄弟表示法！

孩子兄弟表示法：有两个指针域和一个数据域。一个是孩子指针域，另一个是兄弟指针域！只要是当前节点的孩子就挂到孩子节点后面，如果是兄弟节点则挂到兄弟节点的后面，这样就可以把非二叉树转换为二叉树来处理了！

typedef char DataType;
struct Node
{
	struct Node* _LeftChild;
	struct Node* _RightBother;
	DataType _data;
};

树结构在现实中的应用

树这种结构其实在现实中应用的地方不多，最典型的就是文件系统的目录结构！

这就是Linux下的一个文件目录系统结构，他就是一棵多叉树！

二、二叉树的概念和结构

二叉树的概念

二叉树：度至多为2的树，被称为二叉树！

注意：这里是至多，也就是说度可以为0，1 ,  2都可以！

二叉树是由一个根节点和左右子树构成的！

二叉树有左右之分！次序不能颠倒！

二叉树的5种特殊情况：

所有的二叉树都是由以上5中组成的！

特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到最大值，则称该二叉树为满二叉树！（也就是说如果一个二叉树有K层它的节点总数是：2^k  - 1就说明他是满二叉树）

完全二叉树：对于深度为K，节点数是n的二叉树，当且仅当每一个节点与深度为K的那一层的每一个编号都对应(也就是说前K-1层是满的，第K层按序号依次存放的)的树被称为完全二叉树！也就是说满二叉树实际上是完全二叉树的特例

OK，画个图理解一下：

完全二叉树是很有用的！后面我们玩的堆、堆排序、TopK问题都是基于完全二叉树实现的！

二叉树的性质

（1）若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点

（2）若规定根节点的层数为1，则一棵高度为h的二叉树的最大节点数是2^(h) - 1

（3）若规定根节点的层数为1，则具有n个节点的满二叉树的深度h = log2(N+1)

（4）对于任意一棵二叉树，假设度为0的节点（叶子结点）的个数为n0,度为2的节点的个数为n2,则有n0 = n2 + 1

（5）对于高度为h的二叉树的节点范围是[2^(h-1), 2^(h)-1]

（6）对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i > 0,位置节点的双亲下标为：（i-1）/2，根节点无双亲

若2i+1 < n， 则左孩子的下标为2i+1,否则如果2i+1 >= n则无左孩子

若2i+1 < n， 则右孩子的下标为2i+2,否则如果2i+2 >= n则无右孩子

二叉树的存储

二叉树的存储一般分为：顺序存储和链式存储两种~！

1、顺序存储

顺序存储就是用数组来存储，一般的二叉树都是不适合用数组存的，因为会有空间的浪费，只有完全二叉树才适合用数组来存储！堆就是这样搞的(后面会介绍)！二叉树用数组存储（顺序存储）在物理上是一个数组，在逻辑上是一棵二叉树！

2、链式存储

二叉树的链式存储是指，用链表表示（存储）一棵二叉树，也就是用链表来指示各个节点的逻辑关系！一般每个节点都有三个域，一个数据域，两个指针域（左右指针域），它两分别指向二叉树的左右节点。链式存储又可以分为二叉链和三叉链，我们这里玩的是二叉链，三叉连后期在介绍，他是玩那个红黑树的！

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType datal;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BT;

OK，本期二叉树的基础知识就介绍到这里，我们下期再来对顺序存储和链式存储来实现！