前言
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目录
- 一.二叉搜索树的基本概念
- 二.增删查改基本操作
- 1.二叉搜索树的查找（分析＆代码演示）
- 分析
- 代码演示
- 2.二叉搜索树的插入（分析＆代码演示）
- 分析
- 代码演示
- 3.二叉搜索树的删除【※核心重点】（分析＆代码演示）
- 分析
- 代码演示
- 4.二叉搜索树的中序遍历（分析＆代码演示）
- 分析
- 代码演示
- 三.二叉搜索树的性能问题：需要AVL树...红黑树...
- 四.二叉搜索树的完整实现代码演示
- 五.进阶二叉树习题传送门
一.二叉搜索树的基本概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则 左子树 上所有节点的值都 小于 根节点的值
- 若它的右子树不为空，则 右子树 上所有节点的值都 大于 根节点的值
- 它的 左右子树 也分别为二叉搜索树 ；
二.增删查改基本操作
//结点模板
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_key(key)
{}
};
//在二叉搜索树模板中
typedef BSTreeNode<K> Node;
1.二叉搜索树的查找（分析＆代码演示）
分析
- 从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找
- 最多查找高度次 ，走到到空，还没找到，这个值不存在。
代码演示
//查找操作
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)//从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;//最多查找高度次 ，走到到空，还没找到，这个值不存在。
}
2.二叉搜索树的插入（分析＆代码演示）
分析
- 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
- 树不空， 按二叉搜索树性质的查找方式（前后指针） 找到插入位置，插入新节点
代码演示
//插入操作
bool Insert(const K& key)
{
//树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
//树不空， 按二叉搜索树性质的查找方式（前后指针） 找到插入位置，插入新节点
Node* parent = nullptr;//后指针
Node* cur = _root;//前指针
while (cur)
{
if (cur->_key < key)//比keycur的_key大，往右走
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if(cur->_key > key)//比keycur的_key小，往左走
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
//cur走到空了，开始给插入的key值创建结点，根据其比后一个结点（parent）大还是小，决定其是插在左还是右
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
3.二叉搜索树的删除【※核心重点】（分析＆代码演示）
分析
- 首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回
- 否则要删除的结点可能分下面四种情况：
- 要删除的结点无孩子结点
- 要删除的结点只有左孩子结点
- 要删除的结点只有右孩子结点
- 要删除的结点有左、右孩子结点
- 对上面四种情况整理后(1与2，3分别结合)，剩下下面2种情况（直接删除，替换法），分出3种具体情况（直接删除占两种）：
- 直接删除情况： 只有左/右/无孩子结点（无孩子，只有一个孩子）
（双亲结点指向被删除节点的左还是右————取决于被删除节点是其双亲节点的左还是右节点）- 情况1：被删除节点是其双亲节点的左节点，删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的 左孩子 结点
- 情况2：被删除节点是其双亲节点的右节点，删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 右孩子 结点
- 还要考虑结点为根结点情况：
- 替换法情况：【※核心难点】 （有两个孩子）
- 情况3 ：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题
- 分析：要 找到左子树的最大(右)结点，或者 右子树的最小(左)结点（下图演示中是找到左子树的最大结点）
- 具体过程分析：
- 设置前后指针，留一个cur指针指向要删除结点，parent指针跟着LeftMax指针向下逐个移动
- 找到leftMax以后，交换其和cur的数值，（收完尾后，最后一步再将指针也一同转移）
- 要分为两种情况（如下图所示） (1) leftMax指针的左指针为空，(2) leftMax指针的左指针不为空
（为什么不用讨论右指针呢？因为leftMax的右指针必定为空，否则leftMax会继续向下移动）- 因为采用的是前后指针法，所以这时留下的后指针（parent）就对应指向leftMax的左/右结点
- 最后将cur指针指向leftMax，leftMax动不动无所谓
代码演示
//删除操作
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;//后指针
Node* cur = _root;//前指针
while (cur)
{
//通过二叉搜索树规则向下查找
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
//直接删除情况：只有左/右/无孩子结点
//（双亲结点指向被删除节点的左还是右————取决于被删除节点是其双亲节点的左还是右节点）
else // 找到了
{
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_right == cur)//被删除节点是其双亲节点的右节点
{
parent->_right = cur->_right;//删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 右孩子 结点
}
else//被删除节点是其双亲节点的左节点
{
parent->_left = cur->_right;//删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 左孩子 结点
}
}
}
// 右为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
}
// 替换法情况：左右都不为空
else
{
// 找替代节点
Node* parent = cur;
Node* leftMax = cur->_left;
while (leftMax->_right)
{
parent = leftMax;
leftMax = leftMax->_right;
}
swap(cur->_key, leftMax->_key);
if (parent->_left == leftMax)
{
parent->_left = leftMax->_left;
}
else
{
parent->_right = leftMax->_left;
}
cur = leftMax;
}
delete cur;
return true;
}
}
return false;
}
4.二叉搜索树的中序遍历（分析＆代码演示）
分析
- 中序遍历要从通过模板实例化的树中调用中序遍历函数
- 需要传根结点指针，但是 根结点指针是在private域中，域外不能直接传一个根结点指针 ，所以要引入_InOrder函数，在二叉搜索树模板中 再次封装一层
代码演示
void TestBSTree1()
{
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
BSTree<int> t;
for (auto e : a)
{
t.Insert(e);
}
t.InOrder(); //需要传根结点指针，但是根结点指针是在private域中，域外不能直接传一个根结点指针，
//所以要引入_InOrder函数，在二叉搜索树模板中再次封装一层
}
//中序遍历——————————————————————————————————————————为了解决中序要传入根节点的问题，引入_InOrder函数
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
三.二叉搜索树的性能问题：需要AVL树…红黑树…
- 插入和删除操作都必须先 查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能
- 当二叉搜索树 退化为单支时，其效率为O(N)，二叉搜索树的性能就失去了
- 对二叉搜索树进行改进后，得到的AVL树红黑树效率为 Log(N)
四.二叉搜索树的完整实现代码演示
//结点模板
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_key(key)
{}
};
//二叉搜索树类模板
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
//初始化列表
BSTree()
:_root(nullptr)
{}
//查找操作
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
//插入操作
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if(cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
//删除操作
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;//后指针
Node* cur = _root;//前指针
while (cur)
{
//通过二叉搜索树规则向下查找
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
//直接删除情况：只有左/右/无孩子结点
//（双亲结点指向被删除节点的左还是右————取决于被删除节点是其双亲节点的左还是右节点）
else // 找到了
{
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_right == cur)//被删除节点是其双亲节点的右节点
{
parent->_right = cur->_right;//删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 右孩子 结点
}
else//被删除节点是其双亲节点的左节点
{
parent->_left = cur->_right;//删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 左孩子 结点
}
}
}
// 右为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
}
// 替换法情况：左右都不为空
else
{
// 找替代节点
Node* parent = cur;
Node* leftMax = cur->_left;
while (leftMax->_right)
{
parent = leftMax;
leftMax = leftMax->_right;
}
swap(cur->_key, leftMax->_key);
if (parent->_left == leftMax)
{
parent->_left = leftMax->_left;
}
else
{
parent->_right = leftMax->_left;
}
cur = leftMax;
}
delete cur;
return true;
}
}
return false;
}
//中序遍历——————————————————————————————————————————为了解决中序要传入根节点的问题，引入_InOrder函数
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root;
};
void TestBSTree1()
{
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
BSTree<int> t;
for (auto e : a)
{
t.Insert(e);
}
t.InOrder();
t.Erase(4);
t.InOrder();
t.Erase(6);
t.InOrder();
t.Erase(7);
t.InOrder();
t.Erase(3);
t.InOrder();
for (auto e : a)
{
t.Erase(e);
}
t.InOrder();
}
