53. 最大子序和 

题目：

给定一个整数数组，求最大连续子序列和。（至少包含一个元素）

示例:

• 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
• 输出: 6
• 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6
• 意为为了连续最大负数都可以包含进来。

dp数组含义：

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};

 用递推公式 dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])推导可以看出，若上一步的dp值加上当前遍历的nums值 大于 当前遍历的nums值，则取dp[i - 1] + nums[i]，否则取nums[i]。

这样可以保证连续的值一直是最大值，不符和就从当前的nums值重新开始。

  392.判断子序列

题目：

给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

dp数组含义：

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
        if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
        return false;
    }
};

115.不同的子序列 

题目：

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

dp数组含义：

dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[s.size()][t.size()];
    }
};

583. 两个字符串的删除操作 

题目：

给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。

• 输入: "sea", "eat"
• 输出: 2
• 解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea

dp数组含义：

dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1})
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

看见了最左上角的右边和下边从0开始赋值的初始化1...n

字符匹配dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];字符不匹配  dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

最后结果依照dp数组定义，返回最右下角值

递推公式；

• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1

情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1

情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

取最小值递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

初始化：

从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。（同时遍历顺序也要求左到右，上到下，包装存在这些值）

所以dp[i][0] 和 dp[0][j]一定要初始化的。

一边单词为0的字符串，另一边要怎么删才相等呢，当然是有多少删多少，一个为i,一个为j

vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

 72. 编辑距离 

题目：

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符

• 删除一个字符

• 替换一个字符

• 示例 2：

• 输入：word1 = "intention", word2 = "execution"

• 输出：5

• 解释： intention -> inention (删除 't') inention -> enention (将 'i' 替换为 'e') enention -> exention (将 'n' 替换为 'x') exention -> exection (将 'n' 替换为 'c') exection -> execution (插入 'u')

dp数组含义：

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

 

递推公式：

dp[i][j]由4种情况推出，

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

word1[i - 1] == word2[j - 1]时

不操作：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];这里就是匹配成功不用操作的意思（继承之前的操作次数）

word1[i - 1]  != word2[j - 1]时

• 删除：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

操作数+1，忽略当前值，继续遍历寻找匹配值

• 增加：dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

这里的删除相当于增加，word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，

例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'的操作数都是1，由于求的也是操作数，所以，增加word1一次相当于删除word2一次

所以增加公式：dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

• 换改：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

换改后，word1[i - 1] 和word2[j - 1]从不相等变成了相等，所以用 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

综合后递归公式代码如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

初始化： 

dp[i][j]的定义：

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。

那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

 遍历顺序：

由图可看出，递推公式依赖关系。即从左到右从上到下去遍历。

总代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

115和583被吞了。