节点电压分析和网状电流分析

正如我们在上一篇介绍电路分析基本定律的文章中所看到的，基尔霍夫电路定律 (KCL) 是计算任何电路中未知电压和电流的强大而高效的工具。 然而，基尔霍夫电路定律有时会带来重复性的不便，并且并不是分析更复杂电路的最快方法。

有两种基于基尔霍夫电路定律的方法可以简化并提高电路分析的效率：节点电压分析和网格电流分析。

我们在本文中分别分两节介绍这两种方法。 在每个部分中，都给出了一个真实的例子来说明如何进行这些分析。

1、节点电压分析

1.1 概述

节点电压分析 (NVA) 基于基尔霍夫电流定律，用于确定电路节点处的未知电压。 它由一系列要遵循的步骤组成，简要列出如下：

• 1）标记电路的基本节点，基本节点由三个或更多分支之间的连接点组成。
• 2）选择其中一个节点作为电路的参考。 大多数情况下，它是底部节点。
• 3）将支路中的电流表示为电压的函数。
• 4）在参考节点以外的每个节点写出基尔霍夫电流定律。

1.2 示例

假设有图1中所示的以下电子电路，我们将对其执行节点电压分析。 对于数值应用，我们取$S_1=10V$，$S_2=2A$； $R_1=1\Omega$，$R_2=5\Omega$，$R_3=2\Omega$，$R_4=10\Omega$。

图1：带有标记节点、电压和电流的电路示例

在该电路中，我们已经完成了步骤 1 和 2，Node3 已被选为电路的参考（地），并用接地符号表示。

根据步骤 3，我们可以将每个电流 $I_1$、$I_2$、…、$I_5$ 写为 $V_{12}$ 和 $V_{13}$ 的函数，通过将欧姆定律应用于每个分支来计算电流：

• $I_1=(10-V_{13})/R_1$
• $I_2=V_{13}/R_2$
• $I_3=(V_{13}-V_{23})/R_3$
• $I_4=V_{23}/R_4$
• $I_5=-S_2=-2A$

根据步骤4，我们在Node1和Node2处写出基尔霍夫电流定律：

• Node1：$I_1-I_2-I_3=0\Rightarrow [(10-V_{13})/R_1]-[V_{13}/R_2]-[(V_{13}-V_{23})/R_3]=0$
• Node 2: $I_3-I_4-I_5=0\Rightarrow [(V_{13}-V_{23})/R_3]-[V_{23}/R_4]+S_2=0$

因此，我们获得了具有 2 个未知参数的 2 个方程的线性系统，可以通过将直线与适当的因子相乘、排列项并用其值替换电阻器和源项来更清晰地重写该方程：

该系统可以重写为矩阵方程：

等式1：示例的矩阵方程

这种类型的方程可以很容易地用手或使用MatLab等计算机程序求解，解为$V_{13}=9.1V$和$V_{23}=10.1V$。

由于每个电流都是这些值的函数，我们可以计算并列出它们：

• $I_1=(10-9.1)/1=0.9A$
• $I_2=9.1/5=1.8A$
• $I_3=(9.1-10.1)/2=-0.5A$
• $I_4=10.1/10=1A$
• $I_5=-2A$

2、网格电流分析

2.1 概述

本节介绍了另一种简化基尔霍夫电路定律 的强大方法，例如节点电压分析，称为网状电流分析 (MCA)。 我们没有像之前的方法那样将分析集中在节点周围，而是标记了电路每个网格中循环的电流。 网格仅由一个循环组成，其中没有其他内部循环。

我们在下面列出了执行网格电流分析的以下步骤：

• 1）电路每个网格上的属性和标签电流。 通常，我们选择顺时针方向为正电流。
• 2）对与前面所述的电流方向相同的每个网格应用基尔霍夫电压定律 (KVL)。
• 3）求解基尔霍夫电压定律分析中出现的循环方程。
• 4）根据网格电流计算电路中所需的电流或电压。

2.2 示例

假设图 2 中所示的电路，我们将对其执行网格电流分析。 给出不同元件的值：$S_1=12V$，$S_2=6V$； $R_1=15\Omega$，$R_2=2\Omega$，$R_3=12\Omega$。

图2：执行MCA的电路示例

电路中已经完成第一步，其中网格电流用红色环路符号标记。

正如步骤 2 所示，我们对电路的每个网格应用基尔霍夫电压定律：

• 方程1：$-V_1+I_1\times (R_1+R_2)-I_2\times R_2=0$
• 方程2: $V_2-I_1\times R_2+I_2\times (R_2+R_3)=0$

在我们的例子中，网格电流 $I_1$ 和 $I_2$ 都存在于电阻器 $R_2$ 上，在两个方程中我们可以看到 $R_2$ 上的电流被视为 $I_1$ 和 $I_2$ 的代数和。

下面，我们用参数值替换参数，首先，根据第一个方程，我们将 $I_1$ 表示为 $I_2$ 的函数：

• $I_1=(12+2\times I_2)/17$

我们将此项代入方程 2，重新分配各项后，可得出 $I_2=-1/3A$。我们将此值代入 $I_1$ 的表达式中，可得出 $I_1=2/3A$。

最后，我们可以给出驱动电路所需的电流$II=I_1-I_2=1A$。

3、总结

• 我们在本文中介绍了两种基于基尔霍夫电路定律的方法，称为节点电压分析 (NVA) 和网格电流分析 (MCA)。 这些方法可以更有效地分析电路，因为它们通过减少涉及的数学量，比 基于基尔霍夫定律更快地得出解决方案。
• 每个分析都包含一系列要执行的步骤，这些方法在各自部分的开头单独介绍。
• 另外，还给出了示例以说明如何使用这两种方法分析电阻电路。 我们可以注意到，对于具有电感器和电容器的电抗电路，NVA 或 MCA 分析会导致需要求解微分方程或微分方程组。