积分上限函数

定积分的形式

\int_{a}^{b}f(x)dx

a：积分下限

b：积分上限

定积分的值与积分变量无关

\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(t)=dt

积分上限函数的形式

\varphi (x) = \int_{a}^{x}f(t)dt

x：自变量

t：积分变量

积分上限是变量，积分下限是常数

定积分的几何意义

\int_{a}^{b}f(x)dx

y=f(x),x =a,x=b x轴所围成面积

x轴以上面积为正

x轴以下面积为负

积分上限函数的几何意义

\int_{a}^{x}f(x)dx

a：是常数固定的

x：是自变量不断的变化的

左边界固定，右边界是不断移动的所围成的面积代数和。

积分上限函数求导法则

\varphi(x) = \int_{a}^{x}f(x)dx \\ \varphi(x)^{'} = f(x)

\varphi(\omega(x)) = \int_{a}^{\omega(x)}f(t)dt \\ \varphi(\omega(x))^{'} = f(\omega(x))\cdot\omega(x)^{'} 复合函数链式求导法则

例题1

f(x) 二阶可导，f(0) = 0, f(0)^{'} = 1 ,求 \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x}[f(t)\cdot t^2-t^3]dt}{x^4}

上下都趋于0 可使用洛必达法则

利用积分上限函数求导法则求分子

\lim_{x \to 0}\frac{f(x)\cdot x^2 - x^3}{4x^3} \\ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)\cdot x^2}{4x^3} - \lim_{x \to 0}\frac{x^3}{4x^3} \\ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{4(x)} - \frac{1}{4}

因为f(x) 二阶可导，所以f(x)^{'}连续

利用导数定义

\frac{1}{4}\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{1}{4}f(0)^{'}

所以结果为0

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