5.浮点数及其运算

一. 浮点数的表示

（1）表示

（2）规格化

二. IEEE 754标准

三. 浮点数的运算

（1）步骤

（2）关于舍入

四. C语言的强制类型转换

一. 浮点数的表示

（1）表示

定点数可表示的数字范围有限，但我们不能无限制地增加数据的长度。

浮点数：由阶码和尾数构成：

阶码E反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；尾数M的数值部分的位数n反映浮点数的精度。

阶码：常用补码或移码表示的定点整数。尾数：常用原码或补码表示的定点小数。
例：阶码、尾数均用补码表示，求a、b的真值。a=0,01;1.1001 b=0,10;0.01001
解：a：阶码0,01对应真值+1，尾数1.1001对应真值 $-0.0111=-(2^{-2}+2^{-3}+2^{-4})$

所以a的真值 $2^{-1}*-0.0111=-0.111$ ，其中 $2^{-1}$ 相当于尾数表示的定点小数算数左移一位，或小数点右移一位。

同理b的真值是 $2^{2}*+0.01001=+1.001$ .

（2）规格化

规格化浮点数：规定尾数的最高数值位必须是一个有效值。不能是0.

左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算数左移一位，阶码减1。（通过算数左移，阶码减1来规格化）

右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，将尾数算数右移一位，阶码加1。（通过算数右移阶码加1来规格化）

规格化浮点数的特点：

1.用原码表示的尾数进行规格化：规格化的原码尾数，最高数值位一定是1
正数为0.1××...×的形式，其最大值表示为0.11...1；最小值表示为0.10...0。尾数的表示范围为 $1/2\leq M\leq(1-2^{-n})$ 。
负数为1.1××...×的形式，其最大值表示为1.10...0；最小值表示为1.11..1。尾数的表示范围为 $-(1-2^{-n})\leqslant M\leqslant-1/2$ 。
2.用补码表示的尾数进行规格化：规格化的补码尾数，符号位与最高数值位一定相反（人为规定）
正数为0.1××...×的形式，其最大值表示为0.11...1;最小值表示为0.10...0。尾数的表示范围为 $1/2\leq M\leq(1-2^{-n})$ 。
负数为1.0××...×的形式，其最大值表示为1.01...1;最小值表示为1.00...0。尾数的表示范围为 $-1\leqslant M\leqslant-(1/2+2^{-n})$ 。

二. IEEE 754标准

我们首先回顾下移码的定义：移码=真值+偏置值
此处8位移码的偏置值=128D=1000 0000B，即 $2^{n-1}$ .
例如真值-127=-1111111B，移码=-1111111+ 10000000= 0000 0001
例如真值-3=-11B，移码=-11+ 10000000= 0111 1101。

现在我们把偏置值减去1，也就是127D=0111 1111B，即 $2^{n-1}-1$ .

在IEEE 754标准中，阶码用移码表示，尾数用原码表示。

规格化的短浮点数的真值为： $(-1)^s\times 1.M\times2^{E-127}$ 。隐藏表示天然的就保证了规格化。阶码真值=移码-偏移量。

例1：将十进制数-0.75转换为IEEE 754的单精度浮点数格式表示。

解： $(-0.75)_{10}=(-0.11)_{2}=(-1.1)_2\times 2^{-1}$ ，进行了右规。
数符=1，尾数部分= .1000000.....（隐含最高位1）

阶码真值=-1，单精度浮点型偏移量=127D，移码=阶码真值+偏移量=-1+1111111=0111 1110（凑足8位，当然也可以先10进制计算-1+127=126，126转换成二进制就是0111 1110）
所以转换结果是1 01111110 10000000000000000000000

例2：IEEE 754的单精度浮点数C0 A0 00 00H的值时多少。

解：C0 A0 00 00H→1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000

数符=1→是个负数
尾数部分=.0100....(隐含最高位1）→尾数真值= $(1.01)_2$

移码=10000001，若看作无符号数=129D，单精度浮点型偏移量=127D
阶码真值=移码-偏移量= $1000 0001-111 1111= (0000 0010)_2=(2)_{10}$

浮点数真值= $(-1.01)_2\times 2^2=-5.0$ .

IEEE 754单精度浮点型能表示的最小绝对值、最大绝对值是：
最小绝对值：尾数全为0，阶码真值最小-126，对应移码机器数0000 0001此时整体的真值为 $(1.0)_2\times 2^{-126}$
最大绝对值：尾数全为1，阶码真值最大127，对应移码机器数11111110此时整体的真值为 $(1.11...11)_2\times 2^{127}$ 。

最后介绍几种特殊情况，也就是阶码全1或者全0的情况：

当阶码E全为0，尾数M不全为0时，表示非规格化小数±(0.xx….x)× $2^{-126}$ ，此时尾数隐藏的最高位是0，阶码真值固定为-126；
当阶码E全为0，尾数M全为0时，表示真值±0；
当阶码E全为1，尾数M全为0时，表示无穷大；
当阶码E全为1，尾数M不全为0时，表示非数值“NaN"(Not a Number)；

三. 浮点数的运算

（1）步骤

下面举一个浮点数计算的例子：

例：已知十进制数X=-5/256、Y=+59/1024，按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下∶阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位。

注意这里全部采用补码运算：

（2）关于舍入

“0”舍“1”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。

恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

四. C语言的强制类型转换

char→int →long→double，或float→double，范围、精度从小到大，转换过程没有损失。
而int→float可能损失精度，float→int可能溢出及损失精度。
int：表示整数，范围 $-2^{31}$ 到 $2^{31}-1$ ，有效数字32位；
float：表示整数及小数，范围 $\pm [2^{-126},2^{127}\times(2-2^{-23})]$ ，有效数字23+1=24位。