一、什么是算法？

算法 ，是对特定问题求解方法和步骤的一种描述。它是有限指令的有限序列，其中每个指令表示一个或多个操作。

算法和程序的关系

• 算法​是解决问题的一种方法或一个过程，考虑如何将输入转换成输出，一个问题可以有多种算法。
• 程序是用某种程序设计语言对算法的具体实现。
• 程序 = 数据结构 + 算法

一个算法必须具备以下五个重要特性：

• 有穷性 ：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。
• 确定性 ：算法中每一条指令必须有确切的含义，没有二义性，在任何条件下只有唯一的一条执行路径，即对相同的输入只能得到相同的输出。
• 可行性： 算法是可执行的，算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次来实现。
• 输入：一个算法有零个或n个输入。
• 输出 ：一个算法有一个或n个输出。

二、算法设计的基本要求

• 正确性（Correctness）：应满足具体问题的需求。
• 可读性（Readability）：应容易供人阅读和交流，方便理解和修改。
• 健壮性（Robustness）：应具有容错处理。当输入非法或错误数据时，算法应能适当地作出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。
• 通用性（Generality）：算法应具有一般性 ，即算法的处理结果对于一般的数据集合都成立。
• 高效性（Efficiency）：效率与存储空间需求： 效率指的是算法执行的时间；存储空间需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。

一个好的算法首先要具备正确性，然后是健壮性，可读性，在几个方面都满足的情况下，主要考虑算法的效率，通过算法的效率高低来评判不同算法的优劣程度。

三、时间复杂度

1. 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1. 事后统计的方法——这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。
2. 事前估算的方法——通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

2. 时间频度(Tn)

• 时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

• 基本案例
  比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法：

  int total = 0;
  int end = 100;
  for(int i = 1; i <= end; i++) {
      total += i;
  }
  //此时 T(n) = n+1
  -----------------------------------
  /* 如果直接计算 */
  total = (1+end)*end/2;
  //此时 T(n) = 1
  

计算时间频度时我们发现当n无限大时可以忽略不计“常数项”、“低次项”和“系数”。如下举例说明。

“可以忽略常数项”

n	T(n)=2n+20	T(n)=2*n	T(n)=3n+10	T(n)=3n
1	22	2	13	3
2	24	4	16	6
5	30	10	25	15
8	36	16	34	24
15	50	30	55	45
30	80	60	100	90
100	220	200	310	300
300	620	600	910	900

结论:

1. 2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略
2. 3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略

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“可以忽略低次项”

n	T(2n²+3n+10)	T(2n²)	T(n²+5n+20)	T(n²)
1	15	2	26	1
2	24	8	34	4
5	75	50	70	25
8	162	128	124	64
15	505	450	320	225
30	1900	1800	1070	900
100	20310	20000	10520	10000

结论:

1. 2n²+3n+10 和 2n² 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
2. n²+5n+20 和 n² 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

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“可以忽略系数”

n	T(3n²+2n)	T(5n²+7n)	T(n³+5n)	T(6n³+4n)
1	5	12	6	10
2	16	34	18	56
5	85	160	150	770
8	208	376	552	3104
15	705	1230	3450	20310
30	2760	4710	27150	162120
100	30200	50700	1000500	6000400

结论:

1. 随着n值变大，5n²+7n 和 3n² + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
2. 而n³+5n 和 6n³+4n ，执行曲线分离，说明多少次方是关键而不可忽略。

3. 时间复杂度(On)

3.1 时间复杂度

一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ(f(n))，称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

计算时间复杂度的方法：对T(n)进行“去常数、去低次项、去最高次项系数”就好了。

如： T(n)=n²+7n+6 ==> O(n)=n²

3.2 常见的时间复杂度

1. 常数阶 O(1)
2. 对数阶 O(log₂N)的
3. 线性阶 O(n)
4. 线性对数阶 O(nlog₂n)
5. 平方阶 O(n^2)
6. 立方阶 O(n^3)
7. k次方阶 O(n^k)
8. 指数阶 O(2^n)
9. 阶乘 O(n!)

说明：

• 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log₂N)＜Ο(n)＜Ο(nlog₂n)＜Ο(n^2)＜Ο(n3)＜Ο(n^k)＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
• 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

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代码举例常见的时间复杂度：

1. 常数阶O(1)

   无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

   int i = 1;
   int j = 2;
   i++;
   j++;
   int m = i + j;
   

2. 对数阶O(log₂n)

   int i = 1;
   while (i < n) {
   	i = i * 2;
   }
   

   说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log₂n 也就是说当循环 log₂n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log₂n) 。 O(log₂n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log₃n)。

3. 线性阶O(n)

   for (i = 1; i <= n; i++) {
   	j = i;
   	j++;
   }
   

   说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

4. 线性对数阶O(nlogN)

   for (m = 1; m < n; m++) {
   	i = 1;
   	while (i < n) {
   		i = i * 2;
   	}
   }
   

   说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是 O(nlogN)

5. 平方阶O(n²)

   for (x = 1; i <= n; x++) {
   	for (i = 1; i <= n; i++) {
   		j = i;
   		j++;
   	}
   }
   

   说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即 O(n²) ，如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

6. 立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

   说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

3.3 平均时间复杂度、最坏时间复杂度

• 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

• 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

• 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

  

四、空间复杂度

基本介绍

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(如redis, memcache)和算法(如基数排序)本质就是用空间换时间.

算法最常见的一个核心思想：空间换时间。还有另一个思想是升维。