1. SVM的经典解释

改编自支持向量机解释得很好 |字节大小生物学 (bytesizebio.net)

       话说，在遥远的从前，有一只贪玩爱搞破坏的妖怪阿布劫持了善良美丽的女主小美，智勇双全

的男主大壮挺身而出，大壮跟随阿布来到了妖怪的住处，于是，妖怪将两种能量球吐到了桌子上，

并要求大壮用他手里的棍子将两种能量球分开，如果大壮能赢得游戏，就成全他和小美。

大壮思索了片刻，就将他手里的棍子放了上去，正好将两种能量球分到不同阵营。

然后阿布胸有成竹的又吐出了新的球，恰巧有一个球在不属于他的阵营。

大壮将手里的棍子变粗，并试图通过在棍子两侧留出尽可能大的间隙来将棍子放在最佳位置。 

阿布气急败坏，将桌子上的能量球全部打乱顺序。

        大壮一时间想不出办法，阿布转身就要和小美去玩游戏，大壮很生气的拍了一下桌子，恍然

大悟，并将手里的棍子扔了出去。

 在阿布的眼中，棍子正好穿过了所有的能量球，并将其划分在不同的领域。

棍子也恰好打在了阿布的头上，大壮和小美幸福的生活在了一起。 

        经过后人的杜篡，将球写成了数据（data），将棍子写为了分类（classifier ），将最大间隙

写成了最优化（optimization）、将拍桌子描绘成核方法（kernelling），将桌子写为超平面

（hyperplane）。

2. SVM的算法定义

        SVM全称是supported vector machine（⽀持向量机），即寻找到⼀个超平⾯使样本分成两

类，并且间隔最大。 SVM能够执⾏线性或非线性分类、回归，甚⾄是异常值检测任务。它是机器

学习领域最受欢迎的模型之⼀。SVM特别适用于中小型复杂数据集的分类。

超平面最⼤间隔介绍：

        上左图显示了三种可能的线性分类器的决策边界：虚线所代表的模型表现非常糟糕，甚至都

⽆法正确实现分类。其余两个模型在这个训练集上表现堪称完美，但是它们的决策边界与实例过于

接近，导致在面对新实例时，表现可能不会太好。 右图中的实线代表SVM分类器的决策边界，不

仅分离了两个类别，且尽可能远离最近的训练实例。 

2.1 硬间隔

       在上面我们使用超平⾯进行分割数据的过程中，如果我们严格地让所有实例都不在最⼤间隔之

间，并且位于正确的⼀边，这就是硬间隔分类。 硬间隔分类有两个问题，⾸先，它只在数据是线

性可分离的时候才有效；其次，它对异常值非常敏感。

        当有⼀个额外异常值的鸢尾花数据：左图的数据根本找不出硬间隔，⽽右图最终显示的决策

边界与我们之前所看到的⽆异常值时的决策边界也⼤不相同，可能⽆法很好地泛化。

2.2 软间隔

        要避免这些问题，最好使⽤更灵活的模型。⽬标是尽可能在保持最⼤间隔宽阔和限制间隔违

例（即位于最⼤间隔之上， 甚⾄在错误的⼀边的实例）之间找到良好的平衡，这就是软间隔分

类。 要避免这些问题，最好使⽤更灵活的模型。⽬标是尽可能在保持间隔宽阔和限制间隔违例之

间找到良好的平衡，这就是软间隔分类。

       在Scikit-Learn的SVM类中，可以通过超参数C来控制这个平衡：C值越小，则间隔越宽，但是

间隔违例也会越多。上图显示了在⼀个非线性可分离数据集上，两个软间隔SVM分类器各自的决

策边界和间隔。 左边使用了高C值，分类器的错误样本（间隔违例）较少，但是间隔也较小。 右

边使用了低C值，间隔大了很多，但是位于间隔上的实例也更多。看起来第⼆个分类器的泛化效果

更好，因为⼤多数间隔违例实际上都位于决策边界正确的⼀边，所以即便是在该训练集上，它做出

的错误预测也会更少。 

3. SVM的损失函数

在SVM中，我们主要讨论三种损失函数：

绿色：0/1损失

        当正例的点落在y=0这个超平⾯的下边，说明是分类正确，⽆论距离超平⾯所远多近，误差都是0。

        当这个正例的样本点落在y=0的上方，说明分类错误，⽆论距离多远多近，误差都为1。 

        图像就是上图绿色线。

蓝色：SVM Hinge损失函数

        当⼀个正例点落在y=1的直线上，距离超平面长度1，那么1-ξ=1，ξ=0，也就是说误差为0。 

        当它落在距离超平面0.5的地方，1-ξ=0.5，ξ=0.5，也就是说误差为0.5。

        当它落在y=0上的时候，距离为0，1-ξ=0，ξ=1，误差为1。

        当这个点落在了y=0的上方，被误分到了负例中，距离算出来应该是负的，比如-0.5，那么1-

ξ=-0.5，ξ=1.5。误差为1.5。

        以此类推，画在⼆维坐标上就是上图中蓝色那根线了。

红色：Logistic损失函数

        损失函数的公式为：

        当y = 0时，损失等于ln2，这样线很难画，所以给这个损失函数除以ln2，这样到y = 0时，损

失为1，即损失函数过（0，1）点，即上图中的红色线。 

4. SVM的核方法

       核函数并不是SVM特有的，核函数可以和其他算法也进⾏结合，只是核函数与SVM结合的优

势非常⼤。核函数，是将原始输⼊空间映射到新的特征空间，从而，使得原本线性不可分的样本可

能在核空间可分。

       下图所示的两类数据，分别分布为两个圆圈的形状，这样的数据本身就是线性不可分的，此时

该如何把这两类数据分开呢? 

       假设X是输⼊空间， H是特征空间， 存在⼀个映射ϕ使得X中的点x能够计算得到H空间中的点

h， 对于所有的X中的点都成立：

若x，z是X空间中的点，函数k(x,z)满足下述条件，则称k为核函数，⽽ϕ为映射函数：

核方法案例1：

经过上⾯公式，具体变换过过程为：

核方法案例2：

       下⾯这张图位于第⼀、⼆象限内。我们关注红色的门，以及“北京四合院”这⼏个字和下面的紫

色的字母。 下⾯这张图位于第⼀、⼆象限内。我们关注红色的门，以及“北京四合院”这几个字和下

⾯的紫色的字母。

       绿色的平面可以完美地分割红色和紫色，两类数据在三维空间中变成线性可分的了。 三维中

的这个判决边界，再映射回⼆维空间中：是⼀条双曲线，它不是线性的。 核函数的作用就是⼀个

从低维空间到高维空间的映射，⽽这个映射可以把低维空间中线性不可分的两类点变成线性可分

的。

常见的核函数：

1.多项核中，d=1时，退化为线性核；

2.高斯核亦称为RBF核。 

线性核和多项式核：

        这两种核的作用也是⾸先在属性空间中找到⼀些点，把这些点当做base，核函数的作用就是

找与该点距离和角度满足某种关系的样本点。

        当样本点与该点的夹角近乎垂直时，两个样本的欧式长度必须非常长才能保证满足线性核函

数大于0；而当样本点与base点的方向相同时，长度就不必很长；而当方向相反时，核函数值就是

负的，被判为反类。即它在空间上划分出⼀个梭形，按照梭形来进⾏正反类划分。

RBF核：

          高斯核函数就是在属性空间中找到⼀些点，这些点可以是也可以不是样本点，把这些点当做

base，以这些 base 为圆心向外扩展，扩展半径即为带宽，即可划分数据。 换句话说，在属性空

间中找到⼀些超圆，⽤这些超圆来判定正反类。

Sigmoid核：

        同样地是定义⼀些base， 核函数就是将线性核函数经过⼀个tanh函数进⾏处理，把值域限制

在了-1到1上。 总之，都是在定义距离，⼤于该距离，判为正，小于该距离，判为负。至于选择哪

⼀种核函数，要根据具体的样本分布情况来确定。

⼀般有如下指导规则：

       1） 如果Feature的数量很大，甚至和样本数量差不多时，往往线性可分，这时选用LR或者线

性核Linear；

       2） 如果Feature的数量很小，样本数量正常，不算多也不算少，这时选用RBF核；

       3） 如果Feature的数量很小，而样本的数量很大，这时⼿动添加⼀些Feature，使得线性可

分，然后选用LR或者线性核Linear；

       4） 多项式核⼀般很少使用，效率不高，结果也不优于RBF；

       5） Linear核参数少，速度快；RBF核参数多，分类结果⾮常依赖于参数，需要交叉验证或网

格搜索最佳参数，⽐较耗时；

       6）应用最⼴的应该就是RBF核，⽆论是小样本还是⼤样本，高维还是低维等情况，RBF核函

数均适用。