机器学习：强化学习的epsilon贪心算法

强化学习（Reinforcement Learning, RL）是一种机器学习方法，旨在通过与环境交互，使智能体（Agent）学习如何采取最优行动，以最大化某种累积奖励。它与监督学习和无监督学习不同，强调试错探索（Exploration-Exploitation）以及基于奖励信号的学习。

在这里插入图片描述

强化学习任务通常用马尔可夫决策过程来描述：机器处于环境 $E$ 中，状态空间 $X$ ，其中每个状态 $\in X$ 是机器感知到的环境的描述，机器能采取的动作构成了动作空间 $A$ ，若某个动作 $\in A$ 作用在当前状态 $x$ 上，则潜在的转移函数 $P$ 将使得环境从当前状态按照某种概率转移到另一个状态，在转移到另一个状态的同时，环境会根据潜在的“奖赏”函数 $R$ 反馈给机器一个奖赏。

在环境中状态的转移、奖赏的返回是不受机器控制的，机器只能通过选择要执行的动作来影响环境，也只能通过观察转移后的状态和返回的奖赏来感知环境。

机器要做的是通过在环境中不断地尝试而学得一个“策略”，根据这个“策略”在状态 $x$ 下就能知道要执行得动作。

在强化学习任务中，学习的目的就是要找到能使长期累积奖赏最大化的策略。

强化学习与监督学习来说，强化学习是没有人直接告诉机器在什么状态下应该做什么动作，只有等到最终结果揭晓，才能通过“反思”之前的动作是否正确来进行学习，因此，强化学习在某种意义上可看作具有“延迟标记信息”的监督学习问题。

强化学习任务的最终奖赏是在多步动作之后才能观察到，这里考虑简单情形：最大化单步奖赏，即仅考虑一步操作。单步强化学习任务对应了一个理论模型：k-摇臂赌博机。

k- 摇臂赌博机：有k个摇臂，赌徒在投入一个硬币后可选择按下其中一个摇臂，每个摇臂以一定的概率吐出硬币，但这个概率赌徒并不知道。赌徒的目标是通过一定的策略最大化自己的奖赏，即获得最多的硬币。

若仅为获知每个摇臂的期望奖赏，则可采用“仅探索”法：将所有的尝试机会平均分配给每个摇臂，最后以每个摇臂各自的平均吐币概率作为其奖赏的近似评估。若仅为执行奖赏最大的动作，则可采用“仅利用”法：按下目前最优的摇臂。“仅探索”法会失去很多选择最优摇臂的机会；“仅利用”法可能经常选不到最优摇臂。

$\epsilon$ 贪心法是基于一个概率来对探索和利用进行折中：每次尝试时，以 $\epsilon$ 的概率进行探索，以 $\epsilon$ 的概率进行利用。

则平均奖赏为：
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nv_i$
可以改成增量计算：
$Q_n(k) = \frac {1}{n} ( (n - 1) \times Q_{n-1}(k) + v_n) \\ = Q_{n-1}(k) + \frac{1}{n}(v_n - Q_{n-1}(k))$

代码

k-摇臂赌博机实现：

import numpy as np

class KArmedBandit:
    def __init__(self, k=10, true_reward_mean=0, true_reward_std=1):
        """
        k: 摇臂数量
        true_reward_mean: 奖励均值的均值
        true_reward_std: 奖励均值的标准差
        """
        self.k = k
        self.q_true = np.random.normal(true_reward_mean, true_reward_std, k)  # 每个摇臂的真实均值
    
    def step(self, action):
        """执行动作（拉某个摇臂），返回奖励"""
        reward = np.random.normal(self.q_true[action], 1)  # 以 q*(a) 为均值的正态分布
        return reward

$\epsilon$ 贪心实现：

from data_processing import KArmedBandit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def select_action(epsilon:float, q_estimates:np.ndarray):
    """根据 epsilon-greedy 策略选择动作"""
    if np.random.rand() < epsilon: # 随机选择
        return np.random.choice(len(q_estimates))  # 
    else:
        return np.argmax(q_estimates)  # 选择估计奖励最高的动作
def update_estimates(q_estimates:np.ndarray, action:int, reward:float, action_counts:np.ndarray):
    """更新动作的估计奖励"""
    action_counts[action] += 1
    q_estimates[action] += (reward - q_estimates[action]) / action_counts[action]
    return q_estimates, action_counts

def start(k:int, epsilon:float, epochs:int, stps:int):
    """开始运行 epsilon-greedy 算法"""
    q_estimates = np.zeros(k)  # 每个摇臂的估计奖励
    action_counts = np.zeros(k)  # 每个摇臂被选择的次数
    avg_rewards = np.zeros(stps)  # 记录每次拉摇臂的奖励

    for epoch in range(epochs):
        bandit = KArmedBandit(k)
        rewards = []
        for step in range(stps):
            action = select_action(epsilon, q_estimates)
            reward = bandit.step(action)
            q_estimates, action_counts = update_estimates(q_estimates, action, reward, action_counts)
            rewards.append(reward) # 记录奖励
        avg_rewards += np.array(rewards) # 记录每次拉摇臂的奖励
    avg_rewards /= epochs
    return avg_rewards

if __name__ == '__main__':
    k = 10
    epsilon = 0.1
    epochs = 2000
    stps = 1000
    avg_rewards = start(k, epsilon, epochs, stps)
    plt.plot(avg_rewards)
    plt.xlabel('Steps')
    plt.ylabel('Average reward')
    plt.title('RL: epsilon-greedy Performance')
    plt.show()