高中数学-平面向量、复数

1、平面向量

• 向量：具有大小和方向的量称为向量；物理学中向量也称矢量，只有大小没有方向的量称为标量；向量的大小称为模，大小为1的是单位向量，长度为0、没有方向的是0向量
• 平行向量：两个向量方向一致称为平行向量；两个平行向量的大小也一致，称为相等向量；平行向量可以转移到一根直线上，所以也可以称为共线向量（平行向量=共线向量）
• 向量加法：两个向量收尾对接，可以形成一个三角形，起点到终点就是合成向量；三角形加法法则也可以解释成平行四边形向量法则; $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$（最初的定义是为了合成）
• 向量减法：大小相等、方向相反的向量称为相反向量；两个相反向量想加等于0向量；向量相减，可以看成加上一个相反向量，$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$；如果三角形同一顶点有两条射线向量$\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}$，那么$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$，也就是减数项是起点，被减项是终点。
• 数乘：平行向量之间满足$\vec{a}=\lambda \vec{a}$, λ为实数，相当于一个数乘的系数；方向不变、大小扩大倍数
• 向量加法、向量减法、数乘，最后得到的结果还是向量
• 向量数量积：两个非零向量夹角为θ，数量积为$\vec{a}\ast \vec{b}=|a|\ast |b|\ast \cos \theta$，向量相乘以后就变成数值、失去方向性，$\cos \theta$的意义是把他们合成到一条直线上再运算；这里规定了向量数量积的原始定义；
• 投影向量：两个向量起点放到一起，其中一个向量的终点做另一个向量的垂线，起点到垂足点可以形成一个新的向量，称为投影向量；$\vec{a}在\vec{b}上的投影pro{j}_{b}a=|a|\cos \theta =\frac{|\vec{a}\vec{b}|}{|b|}=(\frac{|\vec{a}\vec{b}|}{|\vec{b}\vec{b}|})\vec{b}$
• 向量乘法运算：符合交换律（元素位置可以互换）、结合律（先计算一部份得到结果再和剩下的计算）、分配律（有加法有乘法，加法内部的元素各自与外部相乘）（注意减法和除法是不满足交换律的）
• 向量没有除法
• 平面向量基本定理：假设$e_1,e_2$是两个不平行的单位向量（如果这两个单位向量是xy轴的单位向量，就会变成直角坐标系向量），那么任意向量可以表示成$\vec{a}={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2$，$e_1,e_2$称为所有向量的基底
• 向量分解：如果分解成两个垂直方向的向量，称为正交分解
• 向量和直角坐标系：假设$i,j$为xy轴的单位向量，那么$\vec{a}=xi+yj$就是向量$\vec{a}$的坐标表示; $i,j$可以表示为$(1,0),(0,1)$, $\vec{a}$可以表示为$(x,y)$；假设$(x,y)$在是一个点A，那么$\vec{a}$也可以写成$\overrightarrow{OA}$；单位向量的正负由参考方向确定，一般为x轴y轴正向
• 平面向量：坐标轴的向量可以可以相加，$\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)=>\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
• 坐标点和向量：假设有AB两点坐标为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，那么$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，也就是说终点坐标减去起始点坐标
• 向量和实数相乘：$\vec{a}=(x,y)=>\lambda \vec{a}=(\lambda x,\lambda y)$
• 平面向量的积：$\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)=>\vec{a}\ast \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$
• 向量之间的角θ：数量积$\vec{a}\ast \vec{b}=|a|\ast |b|\ast \cos \theta =x_1{x}_2+y_1{y}_2$，而$|a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2},b=\sqrt{x_2^2+y_2^2}$, 那么$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\ast \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$
• 平面向量和余弦定理：三角形中已知两边长为ab夹角为θ，假设这两边是向量$\vec{a}\vec{b}$，那么第三边c可以表示为$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$（或者相反）两边平方以下以便进行向量乘积引入θ，$(\vec{c}{)}^2=|\vec{c}|\ast |\vec{c}|\ast \cos 0=(\vec{a}-\vec{b}{)}^2=(|\vec{a}|{)}^2-2\vec{a}\vec{b}+(|\vec{b}|{)}^2=|\vec{a}|\ast |\vec{a}|\ast \cos 0-2|\vec{a}||\vec{b}|\ast \cos \theta +|\vec{b}|\ast |\vec{b}|\ast \cos 0=(|\vec{a}|{)}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\ast \cos \theta +(|\vec{b}|{)}^2$，那么这里只需要知道两边的大小和θ如$|\vec{a}|、|\vec{b}|、\cos \theta$，就可以求出第三边的长度大小$|\vec{c}|$；如果θ=90°，那么容易的到$c^2=a^2+b^2$（消掉了一项）
• 向量与解三角形：一般来说角A角B角C对应的边向量记作$\vec{a}|\vec{b}|\vec{c}$，默认规则
• 平面向量和正弦定理：三边和角关系满足$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

投影向量

向量和坐标点的关系

三角形的边（向量）和角的关系

2、复数

• 复数：人为规定$i^2=-1$，于是$x^2=-1=>x=i$，又继续规定$a+bi$形式为复数，a为实数部分，bi为虚数部分；只有实数部分那么就是实数，只有虚数部分就是虚数，两部分都有就是复数；
• 复数和直角坐标系：将x轴看成是实数部分，将y轴看成是虚数部分，那么复数$a+bi$在复数坐标系(也称为复平面)中会表现为一个点$(a,b)$；根据向量知识，复平面中点坐标P可以确定原点O到点的向量$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OP}$的模等于$\sqrt{a^2+b^2}$
• 共轭复数：两个复数实数相同、虚数相反，称为共轭复数；如$a+bi$、$a-bi$（图像上是根据x轴对称）
• 复数加减：复数$z_1=a+bi$, 复数$z_2=c+di$, 可以改造成向量相加$(a,b)+(c,d)=>(a+c,b+d)$, 结果再转化成复数格式等于$(a+c)+(b+d)i$; 相减同理
• 复数相乘：复数$z_1=a+bi$, 复数$z_2=c+di$，$z_1\ast z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$
• 复数相除：复数$z_1=a+bi$, 复数$z_2=c+di$，$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}$，分数上下同乘以$c-di$，$\frac{z_1}{z_2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$
• 复数的三角表示：复数$z=a+bi$这种格式称为代数式；假设复数z的复平面向量模为r、向量和x轴夹角为θ，那么$a=r\ast \cos \theta ,b=r\ast \sin \theta$，这样复数可以改写成$z=r\ast \cos \theta +r\ast \sin \theta i=r(\cos \theta +\ast \sin \theta i)$，这个格式称为三角格式，θ称为幅角；如果$0<=\theta <=2\pi$，那么θ就是三角复数的主幅角；
• 三角复数的相乘：$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+\ast \sin {\theta }_{1}i),z_2=r_2(\cos {\theta }_2+\ast \sin {\theta }_{2}i)=>z_1\ast z_2=r_1{r}_2(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)i)$，想当于将向量$z_1$绕着原点O逆时针旋转${\theta }_2$，那么角度就变成${\theta }_1+{\theta }_2$了，再把向量$z_1$的模扩大$r_2$倍数
• 三角复数的除法：用相乘的方式反算得到除法，$r_2(\cos {\theta }_2+\ast \sin {\theta }_{2}i)\ast \frac{r_1}{r_2}(\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+\ast \sin ({\theta }_1-{\theta }_2)i)=r_1(\cos {\theta }_1+\ast \sin {\theta }_{1}i)=>\frac{r_1(\cos {\theta }_1+\ast \sin {\theta }_{1}i)}{r_2(\cos {\theta }_2+\ast \sin {\theta }_{2}i)}=\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+\ast \sin ({\theta }_1-{\theta }_2)i)$
• 三角复数没有加减法

数集合的扩充

复平面

复数(向量)合成

三角复数

三角复数相乘