MATLAB在投资组合优化中的应用：从基础理论到实践

引言

投资组合优化是现代金融理论中的核心问题之一，旨在通过合理配置资产，实现风险与收益的最佳平衡。MATLAB凭借其强大的数学计算能力和丰富的金融工具箱，成为投资组合优化的理想工具。本文将详细介绍如何使用MATLAB进行投资组合优化，从基础理论到实际应用，帮助读者掌握这一重要技能。

投资组合优化基础理论

投资组合优化的核心是马科维茨（Markowitz）的均值-方差模型。该模型通过最小化投资组合的方差（风险）或最大化预期收益，找到最优的资产配置。具体来说，优化问题可以表示为：

$[ \min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T \Sigma \mathbf{w} \quad \text{或} \quad \max_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T \mathbf{\mu} ]$

其中：
-w是资产权重向量；
-Σ是资产收益率的协方差矩阵；
-μ 是资产预期收益率向量。

约束条件通常包括：

权重之和为1： $(\sum_{i=1}^n w_i = 1)$ ；
权重非负： $(w_i \geq 0)$ （不允许卖空）。

数据准备：资产收益率与协方差矩阵

在MATLAB中，首先需要准备资产的历史收益率数据。假设我们有三只股票的历史收益率数据，可以通过以下代码生成模拟数据：

% 生成模拟资产收益率数据
rng(42); % 设置随机种子以确保可重复性
numAssets = 3;
numObservations = 100;
assetReturns = randn(numObservations, numAssets) * 0.05; % 正态分布收益率

% 计算预期收益率和协方差矩阵
meanReturns = mean(assetReturns);
covMatrix = cov(assetReturns);

disp('预期收益率:');
disp(meanReturns);
disp('协方差矩阵:');
disp(covMatrix);

在这里插入图片描述

代码解析

生成模拟数据：使用 randn 生成正态分布的随机数，模拟资产收益率。
计算统计量：使用 mean 和 cov 函数分别计算预期收益率和协方差矩阵。

投资组合优化：均值-方差模型

MATLAB的金融工具箱提供了 Portfolio 对象，可以方便地进行投资组合优化。以下代码演示如何使用 Portfolio 对象求解均值-方差优化问题：

% 创建 Portfolio 对象
p = Portfolio;
p = setAssetMoments(p, meanReturns, covMatrix);

% 设置约束条件
p = setDefaultConstraints(p); % 权重之和为1，权重非负

% 求解最小方差投资组合
minVarWeights = estimateFrontierLimits(p, 'min');
disp('最小方差投资组合权重:');
disp(minVarWeights);

% 求解最大夏普比率投资组合
sharpeRatioWeights = estimateMaxSharpeRatio(p);
disp('最大夏普比率投资组合权重:');
disp(sharpeRatioWeights);

在这里插入图片描述

代码解析

创建 Portfolio 对象：使用 setAssetMoments 设置预期收益率和协方差矩阵。
设置约束条件：使用 setDefaultConstraints 设置权重之和为1且权重非负。
求解优化问题：
- estimateFrontierLimits 用于求解最小方差投资组合；
- estimateMaxSharpeRatio 用于求解最大夏普比率投资组合。

有效前沿与资本配置线

有效前沿（Efficient Frontier）是投资组合优化中的重要概念，表示在给定风险水平下能够实现的最大收益。MATLAB可以绘制有效前沿和资本配置线（Capital Allocation Line, CAL），帮助投资者直观地理解风险与收益的关系。

绘制有效前沿

% 计算有效前沿
frontierWeights = estimateFrontier(p, 20);
[frontierRisk, frontierReturn] = estimatePortMoments(p, frontierWeights);

% 绘制有效前沿
figure;
plot(frontierRisk, frontierReturn, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('风险（标准差）');
ylabel('预期收益率');
title('有效前沿');
grid on;

在这里插入图片描述

绘制资本配置线

% 假设无风险收益率为2%
riskFreeRate = 0.02;

% 计算资本配置线
calRisk = linspace(0, max(frontierRisk), 100);
calReturn = riskFreeRate + (max(frontierReturn) - riskFreeRate) / max(frontierRisk) * calRisk;

% 绘制资本配置线
hold on;
plot(calRisk, calReturn, 'r--', 'LineWidth', 2);
legend('有效前沿', '资本配置线');

在这里插入图片描述

案例分析：多资产投资组合优化

假设我们有五只股票的历史收益率数据，目标是构建一个最优投资组合。以下是完整的代码实现：

% 生成模拟资产收益率数据
rng(42);
numAssets = 5;
numObservations = 200;
assetReturns = randn(numObservations, numAssets) * 0.05;

% 计算预期收益率和协方差矩阵
meanReturns = mean(assetReturns);
covMatrix = cov(assetReturns);

% 创建 Portfolio 对象
p = Portfolio;
p = setAssetMoments(p, meanReturns, covMatrix);
p = setDefaultConstraints(p);

% 求解最小方差投资组合
minVarWeights = estimateFrontierLimits(p, 'min');
disp('最小方差投资组合权重:');
disp(minVarWeights);

% 求解最大夏普比率投资组合
sharpeRatioWeights = estimateMaxSharpeRatio(p);
disp('最大夏普比率投资组合权重:');
disp(sharpeRatioWeights);

% 绘制有效前沿
frontierWeights = estimateFrontier(p, 20);
[frontierRisk, frontierReturn] = estimatePortMoments(p, frontierWeights);
figure;
plot(frontierRisk, frontierReturn, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('风险（标准差）');
ylabel('预期收益率');
title('五资产投资组合的有效前沿');
grid on;