2025 - 02 - 19 - 第 55 篇
Author: 郑龙浩 / 仟濹(CSND)
【二分搜索】

洛谷 P1873 EKO / 砍树

题目描述

伐木工人 Mirko 需要砍 $M$ 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。

Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 $H$（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 $H$，并锯掉所有树比 $H$ 高的部分（当然，树木不高于 $H$ 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 $20,15,10$ 和 $17$，Mirko 把锯片升到 $15$ 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 $15,15,10$ 和 $15$，而 Mirko 将从第 $1$ 棵树得到 $5$ 米，从第 $4$ 棵树得到 $2$ 米，共得到 $7$ 米木材。

Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 $H$，使得他能得到的木材至少为 $M$ 米。换句话说，如果再升高 $1$ 米，他将得不到 $M$ 米木材。

输入格式

第 $1$ 行 $2$ 个整数 $N$ 和 $M$，$N$ 表示树木的数量，$M$ 表示需要的木材总长度。

第 $2$ 行 $N$ 个整数表示每棵树的高度。

输出格式

$1$ 个整数，表示锯片的最高高度。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 7
20 15 10 17

输出 #1

15

输入输出样例 #2

输入 #2

5 20
4 42 40 26 46

输出 #2

36

说明/提示

对于 $100\%$ 的测试数据，$1\le N\le 10^6$，$1\le M\le 2\times 10^9$，树的高度 $\le 4\times 10^5$，所有树的高度总和 $>M$。

题目中的部分变量

tree_num - 树木数量
trees[] - 每个树木的高度
tree_sum - 需要的木材总长度
max_JHight - 锯片的最高高度
max_TreeHight - 树木最高高度
tree_NewSum - 存储当前锯片高度砍的树木高度之和

思路

理一下思路，首先，刚开始是没想到这个题怎么做的，我看到标签写的**“二分算法”**，然后往这方面想才有了思路。

首先，该题要求的是：max_hight锯片的最高高度，这个锯片的高度肯定是有一个区间的，所以只需要在这个区间(1 ~ 最高的树木高度)内查找到一个符合条件的值即可。

即使用二分搜索法在区间 [ 1 —— max_TreeHight ] 内寻找符合**条件(下面写了什么条件)**的值(或叫高度)

这个所谓条件就是:

锯下来的所有木材之和 大于等于 需要的木材总长度

注意数据范围

1≤N≤106，1≤M≤2×109，树的高度 ≤4×105，所有树的高度总和 >M。

所以 long long

还有一些细节问题

关于一些特殊情况以及细节，我已经在写代码的时候进行了标注和注释

既然理清思路，就开始写代码了，代码如下

代码

//洛谷P1873 KEO/砍树
// 2025-02-18
// 郑龙浩 / 仟濹(CSDN)
// tree_num - 树木数量
// trees[] - 每个树木的高度
// tree_sum - 需要的木材总长度
// max_JHight - 锯片的最高高度
// max_TreeHight - 树木最高高度
// tree_NewSum - 存储当前锯片高度砍的树木高度之和
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 二分搜索符合 锯下来的所有木材之和 **大于等于** 需要的木材总长度 的高度
long long binary_searchSelf( long long trees[], long long tree_num, long long tree_sum, long long max_TreeHight ){
    long long left = 0, right = max_TreeHight, middle; // 左定位 右定位 中间定位
    long long tree_NewSum; // 存储当前锯片高度砍的树木高度之和
    long long max_JHight = 0;
    // 寻找最合适高度(锯片的)

    // 因为这个地方写为 left < right 我找错找了好久，要注意
    // 千万不要写成 left < right
    // 为什么left == right 的时候仍然要进入循环呢，因为此时的left 与 right还未曾参与计算
    // 需要进入循环将 middle 赋值为 (left + right) / 2
    while( left <= right ){
        tree_NewSum = 0;
        middle = (left + right) / 2;
        for( int i = 0; i < tree_num; i ++ ){
            // 如果电锯高度保持在 树木的高度内，锯下来就是>0,累加；电锯高度大于树木高度，则是砍空气，不计数(算出来是负数)
            // 即：如果可砍，则就累加
            if( middle < trees[ i ] )
                tree_NewSum += trees[ i ] - middle;
        }
        // 不断寻找 当前锯片高度砍的树木高度之和 == 需要的木材总长度 的数值
        // 招不到就找 当前锯片高度砍的树木高度之和 > 需要的木材总长度 且 最接近的 数值
        if( tree_NewSum >= tree_sum ){
            // 当前锯下来的总和 >= 需要的木材总和
            max_JHight = middle;
            left = middle + 1;
        } else{
        // 当前锯下来的总和 < 需要的木材总和
        // 至于为什么在这不 max_JHight = middle 操作，是因为锯下来的总和不满足需要的木材
            right = middle - 1;
        }
    }
    return max_JHight; // 返回锯片最高高度
}
int main( void ){
    long long tree_num, tree_sum; //  树木数量 需要的木材总长度
    cin >> tree_num >> tree_sum; //  输入 木数量 需要的木材总长度
    long long trees[ tree_num ]; //  每个树木的高度
    long long max_TreeHight; //  树木最高高度
    for( int i = 0; i < tree_num; i ++ ){
        cin >> trees[ i ];
    }
    sort( trees, trees + tree_num ); // 让数据变为升序，以便使用 二分搜索法
    max_TreeHight = trees[tree_num - 1];
    cout << binary_searchSelf(trees, tree_num, tree_sum, max_TreeHight) << endl;
    return 0;
}