五 转置，置换和向量空间
- 1. 置换矩阵
- 2. 转置矩阵
- 3. 对称矩阵
- 4. 向量空间
- 4.1 向量空间
- 4.2 子空间
1. 置换矩阵
定义： 用于行互换的矩阵P。
之前进行A=LU分解时，可能存在该行主元为0，要进行行互换，即PA=LU
性质：
P
−
1
=
P
T
P^{-1} = P^{T}
P−1=PT，
P
T
P
=
I
P^{T}P=I
PTP=I
例子：
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
[
0
1
0
1
0
0
0
0
1
]
.
.
.
\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} ...
100010001
010100001
...
2. 转置矩阵
[
1
3
2
3
4
1
]
T
=
[
1
2
4
3
3
1
]
{\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix}}^{T} = \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1 \end{bmatrix}
124331
T=[132341]
(
A
T
)
i
j
=
A
j
i
(A^T)_{ij} = A_{ji}
(AT)ij=Aji
3. 对称矩阵
定义：
A
i
j
=
A
j
i
A_{ij} = A_{ji}
Aij=Aji
性质： 对称矩阵的转置不变性
A
T
=
A
A^T = A
AT=A
推论：
R
T
R
R^TR
RTR都是对称矩阵
(
R
T
R
)
T
=
R
T
(
R
T
)
T
=
R
T
R
(R^TR)^T = R^T(R^T)^T = R^TR
(RTR)T=RT(RT)T=RTR
4. 向量空间
4.1 向量空间
记
R
2
R^2
R2为所有二维空间实数向量，组成的向量空间。
R
n
R^n
Rn为所有n维空间实数向量，组成的向量空间。
性质：
- 所有数乘，加法都在子空间中
- 包含零向量
4.2 子空间
定义：空间中的一部分，且满足性质1和性质2。
例子：
R
2
R^2
R2的子空间包含
- R^2 二维平面
- 通过(0,0)点的直线
- 零向量
其他：存在子空间P和L, P ∪ L P\cup L P∪L不是子空间， P ∩ L P \cap L P∩L是子空间
