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前言

提示：这里可以添加本文要记录的大概内容：

参考书《Nonlinear dynamics and chaos》 Steven H. Strogatz
本节重点Note第五章内容5.2线性系统的分类，图片来自于该书

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C5 线性系统

C5.2 线性系统的分类

上一篇笔记中我们观察到了类似直线轨迹(straight-line trajectories)：从坐标轴某一点开始的轨迹将永远保持在该轴上，并沿着坐标轴表现出简单的指数增长或衰减。
这种轨迹的形式如下：
$$\mathbf{x}=e^{\lambda t}\mathbf{v}$$
其中 $v\ne 0$ 是一些待确定的固定向量，$\lambda$ 是一个待确定的增长率。如果这样的解存在，它们对应于沿着向量 $\mathbf{v}$ 所张成的直线的运动.
我们可以将这样的解带入到原方程$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Ax}$，可以得到$\lambda e^{\lambda t}\mathbf{v}=e^{\lambda t}\mathbf{Av}$化简可得：
$$\mathbf{x}(\mathbf{t})=e^{\lambda t}\mathbf{v}$$
这表明如果 $\mathbf{v}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征向量，并且对应于特征值$\lambda$，则所需的直线解存在。在这种情况下，我们也将这样的解称为特征解.

下面回顾一下线性代数中的特征值求解：
矩阵$\mathbf{A}$的特征值由特征方程 $\det (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0$ 给出，其中 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵.
假设$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$
则特征值方程为 $\det \left(\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ c& d-\lambda \end{array}\right)=0.$
其对应
${\lambda }^2-\tau \lambda +\Delta =0$
where
其中$\tau =\text{trace}(A)=a+d$, $\Delta =\det (A)=ad-bc.$
而最终的解为
$${\lambda }_1=\frac{\tau +\sqrt{{\tau }^2-4\Delta }}{2},{\lambda }_2=\frac{\tau -\sqrt{{\tau }^2-4\Delta }}{2}$$

由于方程是线性的，我们可以得到给定初始条件${\mathbf{x}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2.$,我们可以得到方程的解为：
$$\mathbf{x}(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{\mathbf{v}}_1+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{\mathbf{v}}_2.$$

例5.2.1

求解初值问题$\dot{x}=x+y,\dot{y}=4x-2y$，满足初始条件 $(x_0,y_0)=(2,-3)$.
解：相应的矩阵方程是
$\left(\begin{array}{c}\dot{\mathbf{x}}\\ \dot{\mathbf{y}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ \mathbf{y}\end{array}\right).$

首先我们找到矩阵$\mathbf{A}$ 的特征值。矩阵有 $\tau =-1$ 和 $\Delta =-6$，由此特征方程是 ${\lambda }^2+\lambda -6=0$. 我们可以得到
${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=-3.$
接下来需要确定特征向量，特征向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ 满足
$\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ 4& -2-\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$
对于 ${\lambda }_1=2$，这得到
$\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 4& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$
它有一个非平凡解(non-trival) $(v_1,v_2)=(1,1)$，或其$c$(标量)倍。同样，对于 ${\lambda }_2=-3$，特征向量方程变为
$\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$
它有一个非平凡解 $(v_1,v_2)=(1,-4)$。因此特征向量为，
${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right).$
通过线性组合得到的一般解是
$\mathbf{x}(t)=c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)e^{2t}+c_2\left(\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right)e^{-3t}.$
最后，我们计算 $c_1$ 和$c_2$ 来满足初始条件$(x_0,y_0)=(2,-3)$. 最终我们可以解得如下方程：
$$\begin{gathered} x(t)=e^{2t}+e^{-3t} \\ y(t)=e^{2t}-4e^{-3t} \end{gathered}$$

例5.2.2

画出5.2.1问题中的相图

由于两个特征值一个为${\lambda }_1=2$,还有一个为${\lambda }_2=-3$,因此第一个解会指数增加，第二个解会衰减. 此时原点为鞍点(saddle point),此时由向量${\mathbf{v}}_2=(1,-4)$张成的稳定流形对应衰减的特征解. 而不稳定的流形则由${\mathbf{v}}_2=(1,-4)$张成. 由此我们可以画出如下相图：

例5.2.3

绘制 ${\lambda }_2<{\lambda }_1<0$情况下的典型相图。

此时两个特征解都呈指数衰减，轨迹通常沿着慢特征方向(slow eigendirection)接近原点，该方向定义为由具有较小 $|\lambda |$ 的特征向量(此处为${\lambda }_1$)所张成的方向. 注意，如果将时间反向，即$(t\to -\infty$）中，轨迹变得与快特征方向平行。

例5.2.4

当特征值为复数时我们能观察到什么?

如果特征值为复数，则不动点只有可能是一个中心(center)或者螺旋(spiral). 在5.1简谐振子的情况我们已经看到了圆心可以被闭合轨道所包围. 注意，这里中心是中性稳定的(neutrally stable),因此它不会吸引或排斥其他轨迹. 如果谐振子受到轻微的阻尼则会出现螺旋(spiral),那么轨迹就难以闭合，因为谐振子会逐渐在运动过程中损失能量.

下面我们通过来解释刚刚的结论，特征值表达式如下：
$${\lambda }_{1,2}=\frac{1}{2}\left(\tau \pm \sqrt{{\tau }^2-4\Delta }\right).$$
而复数根出现的条件为：
$${\tau }^2-4\Delta <0$$
此时我们可以得到如下两个解：
$${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\omega$$
其中$$\alpha =\frac{\tau }{2},\omega =\frac{1}{2}\sqrt{4\Delta -{\tau }^2}.$$
而一般解的形式为：
$$\mathbf{x}(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{\mathbf{v}}_1+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{\mathbf{v}}_2.$$
但现在因为 $\lambda$ 是复数，所以 $c$ 和 $\mathbf{v}$ 也是复数. 因此$\mathbf{x}(t)$ 包含 $e^{(\alpha \pm i\omega )t}$ 的线性组合。根据欧拉公式，$e^{i\omega t}=\cos \omega t+i\sin \omega t$. 因此 $\mathbf{x}(t)$是涉及 $e^{\alpha t}\cos \omega t$ 和 $e^{\alpha t}\sin \omega t$ 的项的组合。如果 $\alpha =\text{Re}(\lambda )<0$，这些项表示振荡过程中呈指数衰减,这对应稳定的不动点，如果 $\alpha >0$，则表示振荡过程指数增长，这对应不稳定的螺旋. 图 5.2.4b 显示了稳定的情况。

如果特征值是纯虚数$\alpha =0$，那么所有解都是周期性的，周期为 $T=2\pi /\omega$. 振荡具有固定振幅，并且不动点点是一个中心(center).

例5.2.5

如果特征值相等会发生什么？

假设 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda$。有两种可能性：要么有两个对应于$\lambda$ 的独立特征向量，要么只有一个.
我们先考虑有两个独立特征向量的情况，此时他们会张成一个平面都是有相同的特征值$\lambda$
我们可以得到任意向量$x_0$可以写成两个特征向量的线性组合，也就是${\mathbf{x}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2$，那么我们可以得到
$A{\mathbf{x}}_0=A(c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2)=c_1\lambda {\mathbf{v}}_1+c_2\lambda {\mathbf{v}}_2=\lambda {\mathbf{x}}_0$
由于乘以$A$的效果即为数乘$\lambda$因此$A$可以等价为
$$A=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right).$$
当$\lambda$不为0时，所有的轨迹均为经过原点的直线，因此我们可以得到一个星型节点(star node)，如下图所示

另一种可能是只有一个特征向量，例如
$$A=\left(\begin{array}{cc}\lambda & b\\ 0& \lambda \end{array}\right)$$其中$b\ne 0$,此时我们可以得到一个退化节点(degenerate node),如下图所示：

不动点的分类

我们可以把不动点做如下分类：

其中$\tau$和$\Delta$分别为矩阵$\mathbf{A}$的迹和行列式:
$${\lambda }_{1,2}=\frac{1}{2}\left(\tau \pm \sqrt{{\tau }^2-4\Delta }\right),\Delta ={\lambda }_1{\lambda }_2,\tau ={\lambda }_1+{\lambda }_2.$$
当$\Delta <0$时,特征值是实数并且有相反的符号，此时不动点为鞍点(saddle point).
当$\Delta >0$时,如果${\tau }^2-4\Delta >0$我们得到节点(node),如果${\tau }^2-4\Delta <0$我们得到螺旋(spiral),当$\tau >0$时.抛物线 $({\tau }^2-4\Delta =0$ 是节点(node)和螺旋(spiral)两种情况之间的边界；星形节点(star)和退化节点(degenerate node)位于这条抛物线上。节点和螺旋的稳定性由 $\tau$决定。当 $\tau <0$ 时，两个特征值都有负实部，因此不动点是稳定的。不稳定的螺旋和节点有 $\tau >0$。中性稳定的中心位于边界$\tau =0$ 上，此时特征值是纯虚数。

例5.2.6

对系统 $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$ 的不动点 ${\mathbf{x}}^{\ast }=0$ 进行分类，
其中 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$

矩阵有 $\Delta =-2$；因此不动点是一个鞍点.

例5.2.7

对系统 $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$ 的不动点 ${\mathbf{x}}^{\ast }=0$ 进行分类， $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$

现在 $\Delta =5$ 且 $\tau =6$. 由于 $\Delta >0$ 且${\tau }^2-4\Delta =16>0$，不动点是一个节点。它是不稳定的，因为 $\tau >0$