机器学习 - 大数定律、可能近似正确学习理论

一、大数定律：

大数定律是概率论中的一个基本定理，其核心思想是：当独立重复的随机试验次数足够大时，样本的平均值会趋近于该随机变量的期望值。下面从直观和数学两个角度来说明这一概念：

1. 直观理解

重复试验的稳定性：
设想你不断地抛掷一枚公平的硬币，每次记录正面出现的概率（记为1）和反面（记为0）。虽然单次抛掷的结果是随机的，但如果你抛掷很多次，正面出现的比例会越来越接近于理论概率0.5。这就是大数定律的直观含义：随着试验次数的增加，实际观察到的平均值（例如正面出现的比例）会趋向于理论上的预期值（0.5）。
稳定的长期平均：
类似地，若你测量一个随机现象（例如每日的气温、股票的收益率等），虽然每天的数值可能波动较大，但经过足够多天的平均计算后，这个平均值会越来越接近于随机现象的真实均值。

2. 数学表述

大数定律有两种常见形式：

弱大数定律：这意味着“以概率收敛”。
强大数定律：
在更强的意义上，强大数定律说明样本平均值几乎必然收敛到期望值：

也就是说，对于几乎所有可能的试验序列，样本平均最终都会收敛到 μ\mu。

3. 应用举例

掷骰子例子：
假设你有一枚公平的六面骰子，每个面分别标有1到6。其数学期望为：

如果你只掷一次，结果可能是3、4或其他任何数字，和期望值3.5相差较大。
当你掷 100 次后，将这100次结果的平均值计算出来，平均值会接近于3.5。
随着掷骰子次数不断增加（例如达到几千、几万次），平均值会越来越接近3.5，最终趋于稳定。这正是大数定律所描述的现象。

4. 总结

大数定律告诉我们，通过大量重复试验，我们可以获得稳定的长期平均结果，这个平均结果将非常接近理论上的数学期望。这一原理为统计推断和许多实际应用（如质量控制、金融风险评估等）提供了理论基础和保证。

二、PAC 学习理论

要确定一种学习方法是否为PAC可学习，我们需要证明：

对任意 ϵ和 δ，算法都能以至少 1−δ 的概率输出错误率低于 ϵ 的假设，
而所需样本量是 1/ϵ 和 1/δ 及模型复杂度的多项式函数。

这种理论框架为我们提供了在数据足够多时，学习算法能够在理论上保证近似正确性的数学保证。

当使用机器学习方法来解决某个特定问题时，通常靠经验或者多次试验来选择合适的模型、训练样本数量以及学习算法收敛的速度等。但是经验判断或多次试验往往成本比较高，也不太可靠，因此希望有一套理论能够分析问题难度、计算模型能力，为学习算法提供理论保证，并指导机器学习模型和学习算法的设计，这就是计算学习理论。

计算学习理论(Computational Learning The- ory)是机器学习的理论基础，其中最基础的理论就是可能近似正确(Probably Approximately Correct，PAC)学习理论.

1、基本概念

一个PAC 可学习(PAC-Learnable)的算法：能够在多项式时间内从合理数量的训练数据中学习到一个近似正确的 𝑓(𝒙).

即：在给定足够样本的前提下，模型能以高概率达到预期的低错误率

“近似正确”：
模型可能不会完全正确，但只要错误率低于一个我们可以容忍的阈值 ϵ（比如5%），就认为模型是近似正确的。
“可能”：
我们不能保证每次训练都能得到近似正确的模型，但可以通过足够多的样本和合适的算法，保证模型以至少 1−δ 的概率（例如99%）达到错误率小于 ϵ。
样本复杂度：
PAC理论还告诉我们，为了达到这种可能近似正确的效果，需要的样本数量是多项式级别的（依赖于 1/ϵ 和 1/δ）。这给出了一个理论上的数据要求。

2、上文提到的“需要的样本数量是多项式级别的”如何理解？

在 PAC 学习理论中，“需要的样本数量是多项式级别的”意味着，为了使学习算法以至少 1−δ 的概率达到误差不超过 ϵ 的性能，所需的训练样本数量 m 可以被一个关于 1/ϵ、1/δ 以及问题复杂度（如 VC 维度）的多项式函数上界。例如，理论上我们可能证明：

这表示当我们要求更高的准确性（即 ϵ越小）或更高的置信度（即 δ 越小）时，所需的样本数不会呈指数级增长，而是以多项式形式增长，从而在实际中通常是可接受且计算上可行的。

直观理解：

多项式增长 vs. 指数增长：
如果样本数量随着精度要求的提高是指数级增长，那么即使要求稍微高一点的精度，也可能需要天文数字级别的样本，这在现实中几乎是不可能实现的。而多项式增长则说明样本数量的增长是相对“温和”的，比如如果 ϵ 变为原来的一半，所需样本数量可能增加到原来的几倍，而不是指数级别的增长。
可学习性保证：
多项式级别的样本复杂度是 PAC 学习理论中可学习性的一个重要标志。这意味着，只要样本数量满足这个多项式上界，我们就能以高概率获得一个近似正确的模型。这给了我们理论保证：在实际问题中，只要数据量足够，算法就能学得足够好。

举例说明：

3、如何理解多项式、多项式级别、多项式时间？

这里要彻底理解PAC的概念，就必须弄清楚”样本复杂度“为什么强调“需要的样本数量是多项式级别的”，而不是指数级的。下面我们深入理解一下多项式的概念。

多项式
- 定义：
  数学上，多项式是由变量的不同幂次项和常数系数组成的表达式。例如，函数就是关于变量 n 的一个多项式。
- 直观理解：
  多项式可以看作是变量的幂次的加权求和，描述了一个数值随变量变化的规律。
多项式级别
- 定义：
  当我们说某个量的增长是“多项式级别”的，意思是它随问题规模或参数变化的增长速度可以用一个多项式函数来描述，而不是更快的（例如指数级）的增长。
- 直观理解：
  例如，在机器学习中，如果某个问题的样本复杂度是多项式级别的，意味着随着精度要求（如 1/ϵ 或 1/δ）的提高，所需要的样本数增长速度是 O((1/ϵ)^k)（其中 k 是常数），而不是 2^{1/ϵ} 这样指数式增长。多项式级别的增长通常认为是“合理”且计算上可行的。
多项式时间
- 定义：
  在计算复杂度理论中，多项式时间指的是一个算法的运行时间上界可以表示为输入规模 n 的某个多项式函数，比如 O(n^2) 或 O(n^3)。
- 直观理解：
  如果一个算法在最坏情况下的运行时间是多项式时间，那么当输入规模增加时，运行时间不会爆炸式增长。这种算法被认为是高效且实用的，与之对比的是指数时间算法，其运行时间会随着输入规模呈指数增长，通常难以在大规模问题中应用。

总结：

多项式：一种数学表达式，如
多项式级别：描述增长速度，可以用多项式函数表示的增长，例如样本复杂度随参数的多项式增长。
多项式时间：算法运行时间随输入规模呈多项式增长，表明算法是高效的。

这些概念在理论和实际中都非常重要，因为它们帮助我们评估和设计可行且高效的算法与系统。

4、简单例子：垃圾邮件分类

假设我们要构建一个垃圾邮件分类器，我们希望它在预测时错误率不超过5%（ϵ=0.05\epsilon = 0.05ϵ=0.05），并且希望这种效果在99%的情况下成立（δ=0.01\delta = 0.01δ=0.01）。

任务描述：
给定一批邮件（数据集），每封邮件都有标注（垃圾邮件或正常邮件）。我们训练一个分类器来判断邮件是否为垃圾邮件。
PAC观点：
根据PAC理论，只要我们收集的邮件样本足够多（样本数量达到理论上需要的多项式级别），我们的分类器就能在至少99%的概率下（即失败概率小于1%）实现错误率低于5%的近似正确分类。
直观理解：
这就像是我们做一个测验，只要考生做足够多的题目，最终得分会稳定在一个接近真实能力的水平。这里，“足够多的题目”对应的是样本量，“接近真实能力”对应的是分类器的低错误率，而“99%的概率”则说明大多数情况下（偶尔可能由于运气不好，模型表现稍差，但概率极低），我们的模型都能达到这个标准。

5、关于PAC需要特别注意

PAC学习理论为我们提供了一个理想化的框架，用来描述在一定条件下（如数据独立同分布、假设空间复杂度受控等），算法能够以高概率学习到近似正确模型的情况。但这并不意味着所有的学习问题都能满足PAC学习理论的条件。具体来说：

假设条件限制：PAC理论要求训练数据满足独立同分布（i.i.d.），并且模型的假设空间（例如由VC维度度量）不能太复杂。对于一些实际问题，数据可能存在依赖性或噪声模型复杂度较高，这时就不一定能严格满足PAC理论的假设。
应用范围局限：PAC理论主要适用于监督学习中的分类和回归问题，而对于在线学习、强化学习、半监督学习等其他学习范式，PAC框架可能不完全适用或需要扩展。
理论与实际的差距：虽然PAC理论为我们提供了理论上的可学习性保证和样本复杂度上界，但实际问题中往往会遇到一些违反理论假设的情况。因此，有些学习算法在实践中表现良好，但它们可能不满足PAC理论中的所有严格条件。

PAC学习理论是一种非常重要且有用的理论工具，但它描述的是在特定条件下学习算法的行为，并不覆盖所有学习问题的情形。实际应用时，我们需要根据具体问题的特点和数据的性质，判断是否可以借助PAC理论来解释和预测算法的学习性能。

三、这里我们附加理解一下VC 维度的概念

1、“Vapnik–Chervonenkis Dimension”这个术语由三部分组成：

Vapnik 和 Chervonenkis：
这两个词都是人名，分别来自数学家 Vladimir Vapnik 和 Alexey Chervonenkis。他们是统计学习理论的重要奠基人，特别是在模式识别和机器学习领域做出了开创性贡献。
Dimension：
英文中“dimension”意思是“维度”，在这里表示一种度量标准，用来衡量一个假设空间（模型的集合）的复杂性或表达能力。

2、定义：

简单来说，VC 维度表示一个模型能够“打散”（shatter）数据点的最大数量。
“打散”意味着模型可以针对某组数据点实现任意的二分类标签组合。
VC 维度（Vapnik–Chervonenkis Dimension）是用来衡量一个假设空间（即模型的可能函数集合）复杂度的指标。

3、意义：

如果一个模型的 VC 维度越大，表示它的表达能力越强，能够拟合更复杂的数据模式，但同时也更容易过拟合。
VC 维度在 PAC 学习理论中起着重要作用，通常用于描述模型的样本复杂度（即需要多少样本才能保证模型以高概率达到近似正确）。

4、例子：

在二维平面上，线性分类器（直线）能打散的最大点数是3（VC 维度为3）。这意味着存在一些三点配置（非共线的三个点），线性分类器可以通过选择不同的直线对这三个点实现任意分类，但对于4个点就无法总是实现任意分类。
而更复杂的模型（如决策树或神经网络）可能具有更高的 VC 维度，能打散更多的点，但这也意味着它们需要更多的训练样本来避免过拟合。

5、对上面例子的解释：

VC 维度（Vapnik–Chervonenkis Dimension）直观上反映了一个分类器（或假设空间）的“表达能力”——也就是它能够用来实现任意二分类的样本点的最大数量。如果一个模型可以对某个点集的所有可能标签组合都找到对应的分类边界，则称该模型能“打散”（shatter）这个点集，而 VC 维度就是能被打散的最大点数。

为什么二维平面上直线的 VC 维度是 3？

打散定义：
对于一个给定的点集，如果对于这个点集的每一种可能的二分类标签（即每个点被标为正或负），都存在一条直线能够将正类与负类完全分开，则称这个点集可以被直线打散。
三点情况：
在二维平面中，假设你有3个非共线的点。无论这3个点如何被标记（共有 23=82^3=8 种可能的标记组合），都能找到一条直线将它们按照给定标签分开。直线在二维平面上的灵活性足以实现这种任意分割，因此直线能打散任意3个非共线的点。
四点情况：
当点的数量增加到 4 时，并非所有可能的4点配置都能被直线打散。举个常见的例子，当4个点呈凸四边形分布时，假设有一种标签组合：把对角线上两个点标记为正类，另外两个标记为负类。对于这种情况，不存在一条直线能够同时将正类和负类完全分离。也就是说，直线无法实现所有4点上 24=162^4=16 种可能的分类，因此直线的 VC 维度就限定在 3。

总结：