三相绕线型异步电动机转子串电阻器起动的建模仿真

1.引言

2.起动方法与原理

3. 起动器的分级电阻计算

4. 起动时间计算

5.三相异步电动机瞬态数学模型

6. 三相绕线型异步电动机转子串电阻器系统仿真模型

7.实例仿真分析

8.总结

1.引言

三相绕线型异步电动机转子串电阻器起动的研究文章有很多很多，但大多数都不太全面，这里想全面介绍一下，好让初学者容易掌握。

三相笼型异步电动机起动方法也适用于三相绕线型异步电动机，但是绕线型异步电动机的转子电路可以与外部电路相连，所以绕线型异步电动机就有比笼型感应电动机更多的起动方法和调速方法可供选择所用。绕线型异步电动机常用转子串电阻器和串联频敏变阻器的起动方法，它既可限制起动电流又可增大起动转矩,适用于重载和频繁起动的生产机械上。

本文根据电机学原理来计算转子电阻起动器分级电阻的数值，建立三相异步电动机在相坐标系下的数学模型，根据数学模型构建三相绕线型异步电动机转子串电阻器起动系统的仿真模型，通过实例进行仿真分析。

2. 绕线型异步电动机转子串电阻器起动的原理和方法

先分析三相异步电动机的机械特性。在三相绕线型异步电动机转子电路串入对称电阻和电抗，其机械特性如图 1 所示。图1中，固有特性曲线为0，串入电抗时的人为机械特性为曲线1，比较两条曲线可知，曲线1的临界转差率和最大电磁转矩以及起动转矩的数值均小于固有机械特性曲线0。因此，绕线型异步电动机不适合采用转子电路串入电抗的起动方法。在曲线1的基础上，在转子电路串入某个数值的电阻 $R_{\Omega 1}$ ，其机械特性为曲线2，比较曲线2和曲线1可知，起动转矩大大增加了，临界转差率也增大了，而最大转矩保持不变。如果再在曲线2的基础上，在转子电路中串入一个某一数值的电阻 $R_{\Omega 2}> R_{\Omega 1}$ ，其机械特性为曲线3，则比较曲线3和曲线2可知，起动转矩反而减小了，这说明绕线型异步电动机转子电路中串电阻起动，其串入的电阻器的电阻值不是越大越好。总之，绕线型异步电动机在固有机械特性的基础上在转子电路里串如合适电阻值的电阻器起动，可以提高起动转矩，而不适合采用在转子回路里串电抗起动。

图1. 三相异步电动机的机械特性

对于三相对称异步电动机为什么通常采用转子电路里串电阻的起动方法，还可以从三相对称异步电动机稳态T型等效电路（图2），通过电磁关系来说明。

图2. 三相异步电动机T型等效电路

电动机刚起动瞬间， $S=1$ ，等效电路中的可变电阻 $\frac{1-S}{S}R_{2}^{'}=0$ ，异步电动机相当于转子被堵转，定子和转子电流比正常稳定运行时要大很多，一般为额定电流的（5~7）倍。而激磁电流很小，只有额定电流的(2~8)%，所以，图1T型等效电路的可变电阻可以看成短路，激磁支路可以看成开路，这样就有

$I_1 = I_2' = \frac{U_1}{\sqrt{(R_1 + R_2')^2 + (x_1 + x_2')^2}}$

考虑到电磁转矩等于电磁功率除以同步角速度，则起动转矩为

$T_s = \frac{3p}{2\pi f_1} \frac{U_1^2 R_2'}{(R_1 + R_2')^2 + (x_1 + x_2')^2}$

由以上两式可知，绕线型异步电动机在转子回路中串适当电阻起动，既可以降低起动电流又可以提高起动转矩。若转子回路中串电抗，虽然可以降低起动电流，但起动转矩必然减小，所以绕线异步电动机不采用转子回路中串电抗的起动方法。

三相绕线型异步电动机转子电路串电阻器起动的具体方法是：确保电机和起动设备处于良好状态，检查电阻器的阻值和连接情况；合上电源开关，电机开始起动。此时，转子电路中串联的电阻最大，限制了起动电流并提供了较大的起动转矩；随着电机转速的提高，电磁转矩会逐步减小，所以应逐步减小转子电路中的串联电阻来提高起动过程中的电磁转矩。这可以通过手动或自动控制实现，通常使用接触器和时间继电器来分阶段切换电阻；当电机接近额定转速时，将转子绕组短路，移除所有串联电阻，使电机进入正常运行状态。

3. 起动器的分级电阻计算

从图2的异步电动机T型等效电路，有电流方程：

$\dot{I}_1 = \dot{U}_1/ \left( Z_1 + \frac{Z_m Z_2'}{Z_m + Z_2'} \right)$ （1）

$\dot{I}_{2}^{'} = \dot{I}_1 \cdot \frac{Z_m}{Z_m + Z_2'}$ （2）

式中， $\dot{I}_1$ 为每相电流相量； $\dot{U}_1$ 为每相电压相量； $\dot{I}_{2}^{'}$ 为折算到定子绕组的每相转子电流相量；

$Z_{1}=R_{1}+jx_{1}$ 为定子每相阻抗； $Z_{2}^{'}=(R_{2}^{'}+R_{\Omega }^{'})/S+jx_{2}^{'}$ （ $S$ 为转差率）为折算到定子的转子每相回路阻抗； $Z_{m}=R_{m}+jx_{m}$ 为每相激磁阻抗。

电磁转矩方程：

$T = \frac{3 I_2'^2 (R_2' + R_\Omega') }{\Omega_1 S}$ （3）

式（3）中， $R_{\Omega }^{'}$ 为折算至定子的转子外串电阻； $\Omega _{1}$ 为同步角速度； $S$ 为转差率。

考虑电网对冲击电流的要求以及电网电压的允许降落，在式（1）、（2）和（3）中令S=1，以 $f(R'_m) = I_1(R'_m) - K_{st} I_{in}$ 作为目标函数（Kst为电网要求限制的冲击电流倍数），以 $g(R'_m) = (0.7 \sim 0.85)T_m - T(R'_m) \leq 0$ 作为约束条件，即有

$\begin{cases} \min f(R'_m) \\ g(R'_m) \leq 0 \end{cases}$ （4）

式（4）为非线性带不等式约束的优化问题，可以用Matlab优化工具箱求解或其它优化算法求解，求得最初起动时转子电路的总电阻折算值R'm。

然后在式（3）中令T=（1.1~1.2）TL，此时子回路总电阻为R’m，以转差率S作为求解变量，就可求得切除第m级外串电阻时刻所对应的转差率S，以此转差率S代入式（1）、（2）和（3），并令T=（0.7~0.85）Tm，以转子电阻作为求解变量，就可求得切除第m级转子电路外串电阻时转子回路的总电阻 $R_{m-1}^{'}$ 。这样第m级外串电阻的实际值为

$R_{\Omega m} = \left( R'_m - R'_{m-1} \right) / K$

依照上述方法可求得各级起动电阻的数值：

$R_{\Omega(m-1)} = \left( R'_{m-1} - R'_{m-2} \right) / K \\ \vdots \\ R_{\Omega 1} = \left( R'_1 - R'_2 \right) / K$ (5)

式中， $K=K_{i}K_{e}$ 为阻抗变比。

4.起动时间的计算

起动过程中要准确地切除各级起动电阻，必须整定出各接触器的闭合时间，这可按下式用分段数值积分求得：

$t = \int_{Sst}^{Sx} \frac{n_1 GD^2}{375(T_L - T)} ds$ (6)

式（6）中，

$S_{st}$ —刚起动时刻的转差率，其值为1；

$n_{1}$ —同步转速；

$S_{x}$ —起动过程中对应于某一转速时的转差率;

$GD^{2}$ ——电力拖动系统的飞轮矩；

$T_{L}$ —负载转矩。

5. 三相异步电动机瞬态数学模型

三相异步电动机定子ABC相坐标的数学模型：

定转子电压方程

$\begin{bmatrix}\mathbf{u}_s\\\mathbf{u}_r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{R}_s&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&\mathbf{R}_r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{i}_s\\\mathbf{i}_r\end{bmatrix}+p\begin{bmatrix}\mathbf{L}_s&\mathbf{M}_{sr}\\\mathbf{M}_{rs}&\mathbf{L}_r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{i}_s\\\mathbf{i}_r\end{bmatrix}$ （7）

式（7）中，

$\mathbf{u}_s=\begin{bmatrix}u_A&u_B&u_C\end{bmatrix}^T;\quad\mathbf{u}_r=\begin{bmatrix}u_a&u_b&u_c\end{bmatrix}^T;$

$\mathbf{R}_s=diag(R_s\quad R_s\quad R_s);$ $\mathbf{R}_r=diag(R_r\quad R_r\quad R_r);$

$\mathbf{i}_s=\begin{bmatrix}i_A&i_B&i_C\end{bmatrix}^T;\quad\mathbf{i}_r=\begin{bmatrix}i_a&i_b&i_c\end{bmatrix}^T;$

$\mathbf{L}_s=diag(L_s\quad L_s\quad L_s)$ ； $\mathbf{L}_{r}=diag(L_{r}\quad L_{r}\quad L_{r})$ ； $L_s=L_{ss}+L_{sm}/2;\quad L_r=L_{rr}+L_{sm}/2$ ；

$\mathbf{M}_{sr}=M_{sr}\begin{bmatrix}\cos\theta & \cos(\theta+2\pi/3) & \cos(\theta-2\pi/3)\\ \cos(\theta-2\pi/3) & \cos\theta & \cos(\theta+2\pi/3)\\ \cos(\theta+2\pi/3) & \cos(\theta-2\pi/3) & \cos\theta\end{bmatrix}$

$\mathbf{M}_{rs}=\mathbf{M}_{sr}^T$

电磁转矩方程

$T_e=n_pi^T\frac{\partial L}{\partial\theta}i$ （8）

$T_{e}=T_L+\frac J{n_p}\frac{d\omega_r}{dt}\\\omega_r=\frac{d\theta}{dt}$ (9)

符号说明：

$M_{ss}$ ：定子绕组互感； $M_{rr}$ :转子绕组互感； $L_{ls}$ ：定子绕组漏感；

$L_{lr}$ :折算到定子绕组的转子绕组漏电感； $M_{sr}$ ：定转子绕组间的互感；

$\theta_1=\theta\text{,}\theta_2=\theta-2\pi/3\text{,}\theta_3=\theta+2\pi/3$ 。 $\theta$ ：定子A相绕组与转子a相绕组之间的夹角。

6. 三相绕线型异步电动机转子串电阻器系统仿真模型

根据方程（7)、（8）和（9），用Matlab/Simulink建立的的三相异步电动机仿真模型如图2和图3所示，其中，左边图形为最后的封装形式，它由三个子系统所组成，如右边图形所示。图2中的子系统1表示的是定转子电压方程，其中转子电压方程模型中包含了转子外串电阻起动器（在图2的下方）。子系统2是用S函数表示的磁链方程和电磁转矩方程，S函数取名为TPIM_abc，如图3所示，子系统3表示的是机械运动方程。

图2. 三相异步电动机定子相坐标数学模型

图3. 图2中子系统2的S-Fun（磁链和电磁转矩方程）模块

S函数的程序代码如下：

function [sys,x0,str,ts,simStateCompliance] =TPIM_abc(t,x,u,flag,Lss,Lrr,Ms,Mr,Lsr,np)
%三相异步电动机相坐标模型的s_functio
%电机的参数:定子绕组的电阻和全自感                    Rs L1
%电机的参数:转子绕组的电阻和全自感                    Rr L2   
%电机的参数:定子和转子之间的互感系数                  Msr  
%==========================================================================
switch flag
  case 0
    [sys,x0,str,ts,simStateCompliance]=mdlInitializeSizes;
  case 1
    sys=mdlDerivatives(t,x,u);
  case 2
    sys=mdlUpdate(t,x,u);
  case 3
    sys=mdlOutputs(t,x,u,Lss,Lrr,Ms,Mr,Lsr,np);
  case 4
    sys=mdlGetTimeOfNextVarHit(t,x,u);
  case 9
    sys=mdlTerminate(t,x,u);
  otherwise
    DAStudio.error('Simulink:blocks:unhandledFlag', num2str(flag));
end
%==========================================================================
function [sys,x0,str,ts,simStateCompliance]=mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates  = 0;
sizes.NumDiscStates  = 0;
sizes.NumOutputs     = 7;
sizes.NumInputs      = 7;
sizes.DirFeedthrough = 1;
sizes.NumSampleTimes = 1;   % at least one sample time is needed
sys = simsizes(sizes);
x0  = zeros(0,0);
str = [];
ts  = [0 0];
simStateCompliance = 'UnknownSimState';
%==========================================================================
function sys=mdlDerivatives(t,x,u)
sys  = [];

%==========================================================================
function sys=mdlUpdate(t,x,u)
sys = [];
%==========================================================================
function sys=mdlOutputs(t,x,u,Lss,Lrr,Ms,Mr,Lsr,np)
ang=2/3*pi;
Ls=[Lss -Ms -Ms;
   -Ms  Lss -Ms;
   -Ms -Ms  Lss];
Lr=[Lrr -Mr -Mr;
   -Mr  Lrr -Mr;
   -Mr -Mr  Lrr];
Msr=[Lsr*cos(u(1)),Lsr*cos(u(1)+ang),Lsr*cos(u(1)-ang);
     Lsr*cos(u(1)-ang),Lsr*cos(u(1)),Lsr*cos(u(1)+ang);
     Lsr*cos(u(1)+ang),  Lsr*cos(u(1)-ang),Lsr*cos(u(1))];
Mrs=[Lsr*cos(u(1)),Lsr*cos(u(1)-ang),Lsr*cos(u(1)+ang);
     Lsr*cos(u(1)+ang), Lsr*cos(u(1)),Lsr*cos(u(1)-ang);
     Lsr*cos(u(1)-ang), Lsr*cos(u(1)+ang),Lsr*cos(u(1))];
L=[Ls Msr; Mrs Lr];
dMsrdtheta=[-Lsr*sin(u(1)), -Lsr*sin(u(1)+ang), -Lsr*sin(u(1)-ang);
            -Lsr*sin(u(1)-ang),-Lsr*sin(u(1)),  -Lsr*sin(u(1)+ang);
            -Lsr*sin(u(1)+ang),-Lsr*sin(u(1)-ang),-Lsr*sin(u(1))];
dMrsdtheta=[-Lsr*sin(u(1)), -Lsr*sin(u(1)-ang),  -Lsr*sin(u(1)+ang);
            -Lsr*sin(u(1)+ang), -Lsr*sin(u(1)), -Lsr*sin(u(1)-ang);
            -Lsr*sin(u(1)-ang), -Lsr*sin(u(1)+ang), -Lsr*sin(u(1))];
dLdtheta =[zeros(3,3) dMsrdtheta; dMrsdtheta zeros(3,3)];
Psi=[u(2);u(3);u(4);u(5);u(6);u(7)];
I=L\(Psi);
Te=I'*dLdtheta*I*np;
sys=[I(1);I(2);I(3);I(4);I(5);I(6);Te];

%==========================================================================
function sys=mdlGetTimeOfNextVarHit(t,x,u)
sampleTime = 1;    %  Example, set the next hit to be one second later.
sys = t + sampleTime;
%==========================================================================
function sys=mdlTerminate(t,x,u)
sys = [];
% end mdlTerminate

6. 实例仿真分析

一台三相4极绕线式异步电动机，PN=22kw，U1N=380V，I/N=44A，过载倍数入m=2.13，阻抗变比K=1.44，定、转子绕组均为y接法。电机起动时参数为定子电阻Rs=0.2Ω，转子电阻（折算值）R2=0.2Ω，定子电抗x1=0.6Ω，转子电抗（折算值）x2=0.6Ω，Rm=1.82Ω，Xm=17.62Ω。电机轴上的总飞轮矩GD2=10kg·m2。设电机满载起动，电网要求其起动电流小于2倍额定电流。

根据上面的算法和给出的已知数据，计算出转子电阻器的起动级数（m=4）和各级起动电阻的数值和对应的起动时间，将它们设置在仿真模型中进行仿真，仿真结果如图4所示。

图4. 三相绕线型异步电动机转子串电阻器起动的瞬态特性

从图4可以看到，起动过程中的定子绕组电流被限制在80A（幅值），小于2倍额定电流；起动转矩（幅值）为645N.m（平均值为528N.m) ，是额定转矩的2.93倍；起动过程中的切换转矩在（330~360）N.m之间。满足具体的设计要求。另外，转子电流的频率是随转速的增加而逐步减小的，稳定运行时是稳定转差频率。

7. 总结

本文根据电机学原理来计算转子电阻起动器分级电阻的数值及其电阻的切换时间，建立三相异步电动机在相坐标系下的数学模型，根据数学模型构建了三相绕线型异步电动机转子串电阻器起动系统的仿真模型，通过实例进行仿真分析。

参考文献

（1）周绍英，牛秀岩. 电机与拖动（下）. 中央广播电视大学出版社，1994

（2）汤蕴璆等交流电机动态分析. 北京：机械工业出版社 2004

（3）黄守道，邓建国，罗德荣. 电机瞬态过程分析德Matlab建模仿真北京电子工业出版社，2013