【漫画机器学习】082.岭回归（或脊回归）中的α值（alpha in ridge regression）

岭回归（Ridge Regression）中的 α 值

岭回归（Ridge Regression）是一种 带有 L2 正则化 的线性回归方法，用于处理多重共线性（Multicollinearity）问题，提高模型的泛化能力。其中，α 值（正则化强度） 是岭回归的关键超参数，它决定了正则化项的权重。

1. 岭回归的损失函数

岭回归的目标是在最小化均方误差（MSE）的基础上，引入 L2 正则化，以防止过拟合。其损失函数（目标函数）如下：

其中：

是普通最小二乘回归（OLS）的损失项（残差平方和，RSS）。
是正则化项（L2 惩罚项），防止回归系数 β 过大。
α 是超参数，控制正则化强度：
- α = 0：岭回归退化为普通最小二乘回归（OLS）。
- ：所有回归系数趋近于零，模型趋向于最简单（偏置高，方差低）。

2. α 值的影响

α 值的大小直接影响岭回归模型的性能：

α 值	影响
α = 0	退化为普通最小二乘（OLS），没有正则化，容易过拟合。
小 α	保留大部分特征的贡献，轻微减少过拟合。
较大 α	增强正则化，减少系数的大小，降低方差但可能增大偏差。
α → ∞	所有系数趋近于 0，模型变得过于简单，可能欠拟合。

一般来说，α 值需要通过 交叉验证（Cross-Validation） 来选择，使得模型在训练集和测试集上都能表现良好。

3. 岭回归的矩阵形式

岭回归的最优解可以通过闭式解公式求得：

其中：

X 是输入特征矩阵，
y 是目标变量，
I 是单位矩阵，
α 控制正则化强度。

相比普通最小二乘回归的解：

岭回归通过在矩阵上加上使其可逆，从而避免多重共线性问题。

4. α 值的选择（超参数调优）

通常，我们可以通过 交叉验证（Cross Validation） 选择最优 α 值：

方法 1：手动搜索

尝试多个 α 值，计算交叉验证误差（如 MSE），选择最优 α。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.model_selection import cross_val_score

# 生成模拟数据
np.random.seed(42)
X = np.random.rand(100, 5)
y = X.dot(np.array([1.5, -2, 3, 0, 4])) + np.random.randn(100) * 0.5

# 选择不同的 α 值
alpha_values = np.logspace(-4, 2, 50)
cv_scores = [np.mean(cross_val_score(Ridge(alpha=a), X, y, cv=5, scoring='neg_mean_squared_error'))
             for a in alpha_values]

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

# 画出 α 与误差的关系
plt.plot(alpha_values, -np.array(cv_scores), marker='o')
plt.xscale('log')
plt.xlabel("Alpha")
plt.ylabel("Negative MSE")
plt.title("选择最佳 Alpha")
plt.show()

方法 2：使用 GridSearchCV 自动搜索

import numpy as np
from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.model_selection import GridSearchCV

# 生成模拟数据
np.random.seed(42)
X = np.random.rand(100, 5)
y = X.dot(np.array([1.5, -2, 3, 0, 4])) + np.random.randn(100) * 0.5

ridge = Ridge()
param_grid = {'alpha': np.logspace(-4, 2, 50)}
grid = GridSearchCV(ridge, param_grid, cv=5, scoring='neg_mean_squared_error')
grid.fit(X, y)

print("最佳 Alpha 值:", grid.best_params_['alpha'])

运行结果