【leetcode练习·二叉树拓展】归并排序详解及应用

本文参考labuladong算法笔记[拓展：归并排序详解及应用 | labuladong 的算法笔记]

“归并排序就是二叉树的后序遍历”——labuladong

就说归并排序吧，如果给你看代码，让你脑补一下归并排序的过程，你脑子里会出现什么场景？

这是一个数组排序算法，所以你脑补一个数组的 GIF，在那一个个交换元素？如果是这样的话，那格局就低了。

但如果你脑海中浮现出的是一棵二叉树，甚至浮现出二叉树后序遍历的场景，那格局就高了，大概率掌握了我经常强调的框架思维，用这种抽象能力学习算法就省劲多了。

那么，归并排序明明就是一个数组算法，和二叉树有什么关系？接下来我就具体讲讲。

1、算法思路

就这么说吧，所有递归的算法，你甭管它是干什么的，本质上都是在遍历一棵（递归）树，然后在节点（前中后序位置）上执行代码，你要写递归算法，本质上就是要告诉每个节点需要做什么。

你看归并排序的代码框架：

# 定义：排序 nums[lo..hi]
def sort(nums: List[int], lo: int, hi: int) -> None:
    if lo == hi:
        return
    mid = (lo + hi) // 2
    # 利用定义，排序 nums[lo..mid]
    sort(nums, lo, mid)
    # 利用定义，排序 nums[mid+1..hi]
    sort(nums, mid + 1, hi)

    # ***** 后序位置 *****
    # 此时两部分子数组已经被排好序
    # 合并两个有序数组，使 nums[lo..hi] 有序
    merge(nums, lo, mid, hi)

# 将有序数组 nums[lo..mid] 和有序数组 nums[mid+1..hi]
# 合并为有序数组 nums[lo..hi]
def merge(nums: List[int], lo: int, mid: int, hi: int) -> None:
    pass

看这个框架，也就明白那句经典的总结：归并排序就是先把左半边数组排好序，再把右半边数组排好序，然后把两半数组合并。

上述代码和二叉树的后序遍历很像：

# 二叉树遍历框架 
def traverse(root: TreeNode) -> None: 
    if root is None:
        return
    traverse(root.left)
    traverse(root.right)
    # 后序位置
    print(root.val)

再进一步，你联想一下求二叉树的最大深度的算法代码：

# 定义：输入根节点，返回这棵二叉树的最大深度
def maxDepth(root: TreeNode) -> int:
	if not root:
		return 0
	# 利用定义，计算左右子树的最大深度
	leftMax = maxDepth(root.left)
	rightMax = maxDepth(root.right)
	# 整棵树的最大深度等于左右子树的最大深度取最大值，
	# 然后再加上根节点自己
	res = max(leftMax, rightMax) + 1

	return res

本质上就是二叉树的后序遍历——先拿到子树，再合并子树

前文手把手刷二叉树（纲领篇）说二叉树问题可以分为两类思路，一类是遍历一遍二叉树的思路，另一类是分解问题的思路，根据上述类比，显然归并排序利用的是分解问题的思路（分治算法）。

归并排序的过程可以在逻辑上抽象成一棵二叉树，树上的每个节点的值可以认为是 nums[lo..hi]，叶子节点的值就是数组中的单个元素：

然后，在每个节点的后序位置（左右子节点已经被排好序）的时候执行 merge 函数，合并两个子节点上的子数组：

这个 merge 操作会在二叉树的每个节点上都执行一遍，执行顺序是二叉树后序遍历的顺序。

后序遍历二叉树大家应该已经烂熟于心了，就是下图这个遍历顺序：

结合上述基本分析，我们把 nums[lo..hi] 理解成二叉树的节点，sort 函数理解成二叉树的遍历函数，整个归并排序的执行过程就是以下 GIF 描述的这样：

这样，归并排序的核心思路就分析完了，接下来只要把思路翻译成代码就行。

2、代码实现

只要拥有了正确的思维方式，理解算法思路是不困难的，但把思路实现成代码，也很考验一个人的编程能力。

毕竟算法的时间复杂度只是一个理论上的衡量标准，而算法的实际运行效率要考虑的因素更多，比如应该避免内存的频繁分配释放，代码逻辑应尽可能简洁等等。

class Merge:

    # 用于辅助合并有序数组
    temp = []

    @staticmethod
    def sort(nums):
        # 先给辅助数组开辟内存空间
        Merge.temp = [0] * len(nums)
        # 排序整个数组（原地修改）
        Merge._sort(nums, 0, len(nums) - 1)

    # 定义：将子数组 nums[lo..hi] 进行排序
    @staticmethod
    def _sort(nums, lo, hi):
        if lo == hi:
            # 单个元素不用排序
            return
        # 这样写是为了防止溢出，效果等同于 (hi + lo) / 2
        mid = lo + (hi - lo) // 2
        # 先对左半部分数组 nums[lo..mid] 排序
        Merge._sort(nums, lo, mid)
        # 再对右半部分数组 nums[mid+1..hi] 排序
        Merge._sort(nums, mid + 1, hi)
        # 将两部分有序数组合并成一个有序数组
        Merge.merge(nums, lo, mid, hi)

    # 将 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 这两个有序数组合并成一个有序数组
    @staticmethod
    def merge(nums, lo, mid, hi):
        # 先把 nums[lo..hi] 复制到辅助数组中
        # 以便合并后的结果能够直接存入 nums
        for i in range(lo, hi+1):
            Merge.temp[i] = nums[i]

        # 数组双指针技巧，合并两个有序数组
        i, j = lo, mid + 1
        for p in range(lo, hi+1):
            if i == mid + 1:
                # 左半边数组已全部被合并
                nums[p] = Merge.temp[j]
                j += 1
            elif j == hi + 1:
                # 右半边数组已全部被合并
                nums[p] = Merge.temp[i]
                i += 1
            elif Merge.temp[i] > Merge.temp[j]:
                nums[p] = Merge.temp[j]
                j += 1
            else:
                nums[p] = Merge.temp[i]
                i += 1

有了之前的铺垫，这里只需要着重讲一下这个 merge 函数。

sort 函数对 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 递归排序完成之后，我们没有办法原地把它俩合并，所以需要 copy 到 temp 数组里面，然后通过类似于前文单链表的六大技巧中合并有序链表的双指针技巧将 nums[lo..hi] 合并成一个有序数组：

注意我们不是在 merge 函数执行的时候 new 辅助数组，而是提前把 temp 辅助数组 new 出来了，这样就避免了在递归中频繁分配和释放内存可能产生的性能问题。

3、复杂度分析

再说一下归并排序的时间复杂度，虽然大伙儿应该都知道是 O(NlogN)，但不见得所有人都知道这个复杂度怎么算出来的。

前文动态规划详解说过递归算法的复杂度计算，就是子问题个数 x 解决一个子问题的复杂度。对于归并排序来说，时间复杂度显然集中在 merge 函数遍历 nums[lo..hi] 的过程，但每次 merge 输入的 lo 和 hi 都不同，所以不容易直观地看出时间复杂度。

merge 函数到底执行了多少次？每次执行的时间复杂度是多少？总的时间复杂度是多少？这就要结合之前画的这幅图来看：

执行的次数是二叉树节点的个数，每次执行的复杂度就是每个节点代表的子数组的长度，所以总的时间复杂度就是整棵树中「数组元素」的个数。

所以从整体上看，这个二叉树的高度是 logN，其中每一层的元素个数就是原数组的长度 N，所以总的时间复杂度就是 O(NlogN)O(NlogN)。

4、力扣练习

912. 排序数组

给你一个整数数组 nums，请你将该数组升序排列。

你必须在 不使用任何内置函数 的情况下解决问题，时间复杂度为 O(nlog(n))，并且空间复杂度尽可能小。

示例 1：

输入：nums = [5,2,3,1]
输出：[1,2,3,5]

示例 2：

输入：nums = [5,1,1,2,0,0]
输出：[0,0,1,1,2,5]

提示：

1 <= nums.length <= 5 * 104
-5 * 104 <= nums[i] <= 5 * 104

我们可以直接套用归并排序代码模板：

class Solution:
    def sortArray(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        Merge.sort(nums)
        return nums

class Merge:
    # 见上文

简化写法

class Solution:
    def sortArray(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        tmp_arr = [0] * len(nums)

        def sort(nums, lo, hi):
            if lo == hi:
                return

            mid = lo + (hi - lo) // 2
            sort(nums, lo, mid)
            sort(nums, mid + 1, hi)
            merge(nums, lo, mid, hi)

        def merge(nums, lo, mid, hi):
            for i in range(lo, hi + 1):
                tmp_arr[i] = nums[i]

            i, j = lo, mid + 1
            for p in range(lo, hi + 1):
                if i == mid + 1:
                    nums[p] = tmp_arr[j]
                    j += 1
                elif j == hi + 1:
                    nums[p] = tmp_arr[i]
                    i += 1
                elif tmp_arr[i] < tmp_arr[j]:
                    nums[p] = tmp_arr[i]
                    i += 1
                else:
                    nums[p] = tmp_arr[j]
                    j += 1

        sort(nums, 0, len(nums) - 1)
        return nums

315. 计算右侧小于当前元素的个数 | 力扣 | LeetCode | 🔴

给你一个整数数组 nums ，按要求返回一个新数组 counts 。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

示例 1：

输入：nums = [5,2,6,1]
输出：[2,1,1,0] 
解释：
5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1)
2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1)
6 的右侧有 1 个更小的元素 (1)
1 的右侧有 0 个更小的元素

示例 2：

输入：nums = [-1]
输出：[0]

示例 3：

输入：nums = [-1,-1]
输出：[0,0]

提示：

1 <= nums.length <= 105
-104 <= nums[i] <= 104

我用比较数学的语言来描述一下（方便和后续类似题目进行对比），题目让你求出一个 count 数组，使得：

count[i] = COUNT(j) where j > i and nums[j] < nums[i]

拍脑袋的暴力解法就不说了，嵌套 for 循环，平方级别的复杂度。

这题和归并排序什么关系呢，主要在 merge 函数，我们在使用 merge 函数合并两个有序数组的时候，其实是可以知道一个元素 nums[i] 后边有多少个元素比 nums[i] 小的。

具体来说，比如这个场景：

这时候我们应该把 temp[i] 放到 nums[p] 上，因为 temp[i] < temp[j]。

但就在这个场景下，我们还可以知道一个信息：5 后面比 5 小的元素个数就是左闭右开区间 [mid + 1, j) 中的元素个数，即 2 和 4 这两个元素：

换句话说，在对 nums[lo..hi] 合并的过程中，每当执行 nums[p] = temp[i] 时，就可以确定 temp[i] 这个元素后面比它小的元素个数为 j - mid - 1。

当然，nums[lo..hi] 本身也只是一个子数组，这个子数组之后还会被执行 merge，其中元素的位置还是会改变。但这是其他递归节点需要考虑的问题，我们只要在 merge 函数中做一些手脚，叠加每次 merge 时记录的结果即可。

发现了这个规律后，我们只要在 merge 中添加两行代码即可解决这个问题，看解法代码：

class Solution:
    class Pair:
        def __init__(self, val, id):
            # 记录数组的元素值
            self.val = val
            # 记录元素在数组中的原始索引
            self.id = id

    # 归并排序所用的辅助数组
    temp = []
    # 记录每个元素后面比自己小的元素个数
    count = []

    # 主函数
    def countSmaller(self, nums):
        n = len(nums)
        self.count = [0] * n
        self.temp = [self.Pair(0, 0)] * n
        arr = []
        # 记录元素原始的索引位置，以便在 count 数组中更新结果
        for i in range(n):
            arr.append(self.Pair(nums[i], i))

        # 执行归并排序，本题结果被记录在 count 数组中
        self.sort(arr, 0, n - 1)

        return self.count

    # 归并排序
    def sort(self, arr, lo, hi):
        if lo == hi:
            return
        mid = lo + (hi - lo) // 2
        self.sort(arr, lo, mid)
        self.sort(arr, mid + 1, hi)
        self.merge(arr, lo, mid, hi)

    # 合并两个有序数组
    def merge(self, arr, lo, mid, hi):
        for i in range(lo, hi + 1):
            self.temp[i] = arr[i]

        i, j = lo, mid + 1
        for p in range(lo, hi + 1):
            if i == mid + 1:
                arr[p] = self.temp[j]
                j += 1
            elif j == hi + 1:
                arr[p] = self.temp[i]
                i += 1
                # 此时j来到hi+1处，说明右侧数组所有元素均小于arr[p]
                self.count[arr[p].id] += j - mid - 1
            elif self.temp[i].val > self.temp[j].val:
                arr[p] = self.temp[j]
                j += 1
            else:
                # 此时temp[mid+1, j)的的元素都小于temp[i]
                arr[p] = self.temp[i]
                i += 1
                self.count[arr[p].id] += j - mid - 1

因为在排序过程中，每个元素的索引位置会不断改变，所以我们用一个 Pair 类封装每个元素及其在原始数组 nums 中的索引，以便 count 数组记录每个元素之后小于它的元素个数。

493. 翻转对 | 力扣 | LeetCode | 🔴

给定一个数组 nums ，如果 i < j 且 nums[i] > 2*nums[j] 我们就将 (i, j) 称作一个重要翻转对。

你需要返回给定数组中的重要翻转对的数量。

示例 1:

输入: [1,3,2,3,1]
输出: 2

示例 2:

输入: [2,4,3,5,1]
输出: 3

注意:

给定数组的长度不会超过50000。
输入数组中的所有数字都在32位整数的表示范围内。

我把这道题换个表述方式，你注意和上一道题目对比：

请你先求出一个 count 数组，其中：

count[i] = COUNT(j) where j > i and nums[i] > 2*nums[j]

然后请你求出这个 count 数组中所有元素的和。

你看，这样说其实和题目是一个意思，而且和上一道题非常类似，只不过上一题求的是 nums[i] > nums[j]，这里求的是 nums[i] > 2*nums[j] 罢了。

所以解题的思路当然还是要在 merge 函数中做点手脚，当 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 两个子数组完成排序后，对于 nums[lo..mid] 中的每个元素 nums[i]，去 nums[mid+1..hi] 中寻找符合条件的 nums[j] 就行了。

看一下我们对上一题 merge 函数的改造：

# 记录「翻转对」的个数
count = 0

# 将 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 这两个有序数组合并成一个有序数组
def merge(nums, lo, mid, hi):
    global count
    temp = nums.copy()

    # 在合并有序数组之前，加点私货
    for i in range(lo, mid + 1):
        # 对于左半边的每个 nums[i]，都去右半边寻找符合条件的元素
        for j in range(mid + 1, hi + 1):
            # nums 中的元素可能较大，乘 2 可能溢出，所以转化成 long
            if int(nums[i]) > 2 * int(nums[j]):
                count += 1

    # 数组双指针技巧，合并两个有序数组
    i, j = lo, mid + 1
    for p in range(lo, hi + 1):
        if (i == mid + 1):
            nums[p] = temp[j]
            j += 1
        elif (j == hi + 1):
            nums[p] = temp[i]
            i += 1
        elif temp[i] > temp[j]:
            nums[p] = temp[j]
            j += 1
        else:
            nums[p] = temp[i]
            i += 1

不过呢，这样修改代码会超时，毕竟额外添加了一个嵌套 for 循环。怎么进行优化呢，注意子数组 nums[lo..mid] 是排好序的，也就是 nums[i] <= nums[i+1]。

所以，对于 nums[i], lo <= i <= mid，我们在找到的符合 nums[i] > 2*nums[j] 的 nums[j], mid+1 <= j <= hi，也必然也符合 nums[i+1] > 2*nums[j]。

换句话说，我们不用每次都傻乎乎地去遍历整个 nums[mid+1..hi]，只要维护一个开区间边界 end，维护 nums[mid+1..end-1] 是符合条件的元素即可。

看最终的解法代码：

class Solution:
    def __init__(self):
        # 记录「翻转对」的个数
        self.count = 0
        self.temp = []

    def reversePairs(self, nums) -> int:
        # 执行归并排序
        self.temp = [0]*len(nums)
        self.sort(nums, 0, len(nums) - 1)
        return self.count

    def sort(self, nums, lo, hi):
        # 归并排序
        if lo >= hi:
            return

        mid = lo + (hi - lo) // 2
        self.sort(nums, lo, mid)
        self.sort(nums, mid + 1, hi)
        self.merge(nums, lo, mid, hi)

    def merge(self, nums, lo, mid, hi):
        for i in range(lo, hi+1):
            self.temp[i] = nums[i]
        
        # 维护左闭右开区间 [mid+1, end) 中的元素乘 2 小于 nums[i]
        # 为什么 end 是开区间？因为这样的话可以保证初始区间 [mid+1, mid+1) 是一个空区间
        end = mid + 1
        for i in range(lo, mid+1):
            # nums 中的元素可能较大，乘 2 可能溢出，所以转化成 long
            while end <= hi and nums[i] > nums[end] * 2:
                end += 1

            self.count += end - (mid + 1)

        # 数组双指针技巧，合并两个有序数组
        i, j = lo, mid + 1
        for p in range(lo, hi+1):
            if i == mid + 1:
                nums[p] = self.temp[j]
                j += 1
            elif j == hi + 1:
                nums[p] = self.temp[i]
                i += 1
            elif self.temp[i] > self.temp[j]:
                nums[p] = self.temp[j]
                j += 1
            else:
                nums[p] = self.temp[i]
                i += 1

327. 区间和的个数 | 力扣 | LeetCode | 🔴

给你一个整数数组 nums 以及两个整数 lower 和 upper 。求数组中，值位于范围 [lower, upper] （包含 lower 和 upper）之内的 区间和的个数 。

区间和 S(i, j) 表示在 nums 中，位置从 i 到 j 的元素之和，包含 i 和 j (i ≤ j)。

示例 1：

输入：nums = [-2,5,-1], lower = -2, upper = 2
输出：3
解释：存在三个区间：[0,0]、[2,2] 和 [0,2] ，对应的区间和分别是：-2 、-1 、2 。

示例 2：

输入：nums = [0], lower = 0, upper = 0
输出：1

提示：

1 <= nums.length <= 105
-231 <= nums[i] <= 231 - 1
-105 <= lower <= upper <= 105
题目数据保证答案是一个 32 位 的整数

简单说，题目让你计算元素和落在 [lower, upper] 中的所有子数组的个数。

拍脑袋的暴力解法我就不说了，依然是嵌套 for 循环，这里还是说利用归并排序实现的高效算法。

首先，解决这道题需要快速计算子数组的和，所以你需要阅读前文前缀和数组技巧，创建一个前缀和数组 preSum 来辅助我们迅速计算区间和。

我继续用比较数学的语言来表述下这道题，题目让你通过 preSum 数组求一个 count 数组，使得：

count[i] = COUNT(j) where lower <= preSum[j] - preSum[i] <= upper

然后请你求出这个 count 数组中所有元素的和。

你看，这是不是和题目描述一样？preSum 中的两个元素之差其实就是区间和。

有了之前两道题的铺垫，我直接给出这道题的解法代码吧，思路见注释：

class Solution:
    def __init__(self):
        # 定义实例变量
        self.lower = 0
        self.upper = 0
        self.count = 0
        self.temp = []

    def countRangeSum(self, nums, lower, upper):
        # 赋值实例变量
        self.lower = lower
        self.upper = upper
        
        # 构建前缀和数组，注意 int 可能溢出，用 long 存储
        preSum = [0] * (len(nums) + 1)
        for i in range(len(nums)):
            preSum[i + 1] = nums[i] + preSum[i]
            
        # 对前缀和数组进行归并排序
        self.temp = [0] * len(preSum)
        self.sort(preSum, 0, len(preSum) - 1)
        return self.count
        
    def sort(self, nums, lo, hi):
        if lo == hi:
            return
        mid = lo + (hi - lo) // 2
        self.sort(nums, lo, mid)
        self.sort(nums, mid + 1, hi)
        self.merge(nums, lo, mid, hi)

    def merge(self, nums, lo, mid, hi):
        # 填充 temp 数组
        for i in range(lo, hi + 1):
            self.temp[i] = nums[i]
        
        # 在合并有序数组之前加点私货（这段代码会超时）
        # for i in range(lo, mid + 1):
        #     for j in range(mid + 1, hi + 1):
        # 寻找符合条件的 nums[j]
        #
        #         delta = nums[j] - nums[i]
        #         if delta <= self.upper and delta >= self.lower:
        #             self.count += 1

        # 进行效率优化
        # 维护左闭右开区间 [start, end) 中的元素和 nums[i] 的差在 [lower, upper] 中
        start = mid + 1
        end = mid + 1
        for i in range(lo, mid + 1):
            # 如果 nums[i] 对应的区间是 [start, end)，
            # 那么 nums[i+1] 对应的区间一定会整体右移，类似滑动窗口
            while start <= hi and nums[start] - nums[i] < self.lower:
                start += 1
            while end <= hi and nums[end] - nums[i] <= self.upper:
                end += 1
            self.count += end - start

        # 数组双指针技巧，合并两个有序数组
        i, j = lo, mid + 1
        for p in range(lo, hi + 1):
            if i == mid + 1:
                nums[p] = self.temp[j]
                j += 1
            elif j == hi + 1:
                nums[p] = self.temp[i]
                i += 1
            elif self.temp[i] > self.temp[j]:
                nums[p] = self.temp[j]
                j += 1
            else:
                nums[p] = self.temp[i]
                i += 1

我们依然在 merge 函数合并有序数组之前加了一些逻辑，如果看过前文滑动窗口核心框架，这个效率优化有点类似维护一个滑动窗口，让窗口中的元素和 nums[i] 的差落在 [lower, upper] 中。

归并排序相关的题目到这里就讲完了，你现在回头体会下我在本文开头说那句话：

所有递归的算法，本质上都是在遍历一棵（递归）树，然后在节点（前中后序位置）上执行代码。你要写递归算法，本质上就是要告诉每个节点需要做什么。

比如本文讲的归并排序算法，递归的 sort 函数就是二叉树的遍历函数，而 merge 函数就是在每个节点上做的事情，有没有品出点味道？