偏心率的数学定义

禹晶、肖创柏、廖庆敏《数字图像处理（面向新工科的电工电子信息基础课程系列教材）》P312

区域的拟合椭圆看这里。

Rafael Gonzalez的二阶中心矩的表达不说人话。

我认为半长轴和半短轴不等于特征值，而是特征值的根号。我认为Rafael Gonzalez的图11.21和式(11-23)错了（请廖老师指正）。

因此，用特征值表示椭圆的离心率$e$的表达式应该是：

$$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
这里，$e$是离心率，$c$是中心到焦点的距离，而$a$和$b$分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。

代入特征值：

$$e=\frac{\sqrt{s^2{\lambda }_1-s^2{\lambda }_2}}{s\sqrt{{\lambda }_1}}=\frac{\sqrt{{\lambda }_1-{\lambda }_2}}{\sqrt{{\lambda }_1}}$$

${\lambda }_1$和${\lambda }_2$分别为最大特征值和最小特征值。$s$表示几个$\sigma$，偏心率与这个尺度无关。

偏心率为：
$$e=\sqrt{1-\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}}$$

离心率$e$是衡量椭圆相对于圆的“拉伸”程度的一个量。离心率$e$的范围是从 0（对于圆形）到接近但小于 1（对于非常扁平的椭圆）。对于圆形区域，${\lambda }_1={\lambda }_2$，离心率为 0。对于直线，${\lambda }_2=0$，离心率为 1。因此，这个描述符的值范围是$[0,1]$。

马氏距离、PCA相同的理论基础

这与马氏距离、PCA本质上是一样的。相同的理论基础。

MATLAB的regionprops函数

以下是MATLAB给出的结果，看样子MATLAB给出了拟合椭圆是使用$2\sigma$。

ecc = sqrt(stats.MajorAxisLength^2-stats.MinorAxisLength^2)/stats.MajorAxisLength
ecc =

    0.8416

验证

C = cov(samples);
[U,D] = eig(C);
d = diag(D);
[~,order] = sort(d,'descend');
U = U(:,order);
d = d(order);
% D = diag(d(order));
sqrtd = sqrt(d);
4*sqrtd
ans =

  499.5233
  269.8259