一、torch.polar的使用

torch.polar 是 PyTorch 中用来生成复数张量的一个函数，但它与数学中的复数表达式 ( z = re^{i\theta} ) 是等价的。

具体来说，torch.polar(abs, angle) 接受两个实数张量参数：

• abs：表示复数的模长（绝对值）。
• angle：表示复数的相角（以弧度为单位）。

函数的返回值是一个复数张量 ( z )，其中每个元素的值为：

[
z = \text{abs} \cdot e^{i \cdot \text{angle}}
]

这符合复数的极坐标形式，实际上就是将给定的模和角转化为复数的笛卡尔坐标形式 ( z = x + yi )，其中：

[
x = \text{abs} \cdot \cos(\text{angle})
]
[
y = \text{abs} \cdot \sin(\text{angle})
]

示例

import torch

# 模和角
abs_tensor = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
angle_tensor = torch.tensor([0.0, 3.1415926 / 2, 3.1415926])  # 0, π/2, π

# 使用 torch.polar 生成复数
complex_tensor = torch.polar(abs_tensor, angle_tensor)

print(complex_tensor)
# 输出: tensor([ 1.0000e+00+0.0000e+00j,  1.2246e-16+2.0000e+00j, -3.0000e+00+3.6739e-16j])

从结果可以看出：

• 对于 ( \theta = 0 )，复数是 ( 1+0j )。
• 对于 ( \theta = \pi/2 )，复数是 ( 0+2j )。
• 对于 ( \theta = \pi )，复数是 ( -3+0j )。

因此，torch.polar 是 PyTorch 中基于极坐标生成复数的一种实现，但其底层是通过欧拉公式 ( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) ) 转化到复数的。

二、欧拉公式

数学中，复数的欧拉公式（Euler’s formula）定义了一个非常重要的关系：

[
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
]

其中：

• ( \theta ) 是实数，表示角度，通常以弧度为单位。
• ( \cos\theta ) 是角度 ( \theta ) 的余弦值。
• ( \sin\theta ) 是角度 ( \theta ) 的正弦值。
• ( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。

欧拉公式通过将指数函数 ( e^{i\theta} ) 和三角函数 ( \cos ) 与 ( \sin ) 联系起来，揭示了复数、三角学和指数运算之间的深刻关系。

特殊情况

欧拉公式在某些特定角度 ( \theta ) 下具有有趣的结果：

1. 当 ( \theta = 0 )：
   [
   e^{i\cdot0} = \cos(0) + i\sin(0) = 1 + 0i = 1
   ]

2. 当 ( \theta = \pi )：
   [
   e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + 0i = -1
   ]

3. 当 ( \theta = \frac{\pi}{2} )：
   [
   e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i = i
   ]

4. 当 ( \theta = 2\pi )：
   [
   e^{i\cdot2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0i = 1
   ]
   

复数表示

通过欧拉公式，复数 ( z ) 可以以极坐标的形式表示为：
[
z = re^{i\theta}
]
其中：

• ( r ) 是复数的模，表示复数到原点的距离。
• ( \theta ) 是复数的相角，表示复数与正实轴之间的角度。

这表明复数的表示可以分为模长和角度两个部分。

总结

欧拉公式 ( e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta ) 是复数理论和数学分析中的一个重要公式，它将指数函数和三角函数联系在一起，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。

数学复数

数学中的复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数，通常表示为：

[
z = a + bi
]

其中：

• ( a ) 是实数部分 (( \text{Re}(z) ))；
• ( b ) 是虚数部分的系数 (( \text{Im}(z) ))；
• ( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。

复数的几何表示

复数可以在复平面上表示为一个点或向量：

• 横坐标为实部 ( a )；
• 纵坐标为虚部 ( b )。

复数也可以用极坐标形式表示为：

[
z = r (\cos \theta + i \sin \theta)
]

或者用欧拉公式简化为：

[
z = r e^{i\theta}
]

其中：

• ( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ) 是复数的模；
• ( \theta = \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) ) 是复数的辐角（以弧度表示）。

复数形式在数学、物理和工程学中有广泛的应用，尤其是在处理波动、信号分析和电路等领域。