如何学习数学 | 数学家如何思考

学习数学的关键在哪里？

原创遇见数学

不少人面对数学都会觉得高深莫测，甚至非常枯燥乏味。

只有当你真正走入它的世界，才会发现里面蕴含着无尽的智慧和美感。要想推开这座数学的大门，需要的不仅仅是背公式，或者做一堆练习题。

这里我想聊一聊，学习数学的几个核心要点。它们或许能引导你从基础迈向更深的理解，不仅仅是“会做题”，而是能真正体会到数学的内在美。

其实，无论学习的是数学或其他理科，文学、历史，甚至艺术，学习的核心原理都是相同的。

1. 需要理解，而不是记忆

首先，学习数学最重要的一点是理解，而不是记忆。

有没有遇到过这种情况：刚刚考试前还背得滚瓜烂熟的公式，过些日子就忘得一干二净？这是因为没有真正理解那些公式背后的意义。

数学远不只是一堆符号公式的堆砌，每一个定理、每一个公式都有存在的理由和背景。

举个例子吧，很多人学代数的时候，总觉得它就是列出和解开方程。但实际上，代数是我们用来表达关系、控制变量的工具，是一把探测现实世界的钥匙。要做的，不是死记硬背，而是去问自己：为什么这个公式成立？它背后意味了什么？只有理解了这些问题，公式才会变得鲜活，它不再是一个死板的规则，而是思维工具箱中的一件利器。

2. 学会读懂数学的语言

数学有着它自己独特的“语言”。就像你学习中文、英语或其他任何一门语言，它也有它的语法和词汇。比如，、、等等，它们不仅仅是符号，还是一种浓缩的思想。

数学语言的美妙之处在于，它能够简洁而精准地表达复杂的概念。你会发现，很多冗长的自然语言描述，往往可以通过一两个数学表达式就清晰表达出来。

所以，学习数学时，请确保能读懂并理解这些符号，它们是打开数学世界的“钥匙”。慢慢地，会发现自己不仅能看懂这些符号，还能用它们去构建属于自己的数学表达。

3. 培养逻辑推理的能力

数学的核心，是逻辑推理。就像福尔摩斯侦探一样，步步为营地推进推理。每一个问题的解答，都像是在拼接一幅精妙绝伦的拼图。每一步推导，都必须清晰、严谨，没有漏洞。

例如，在证明中，每一步推理都要基于前面的结论，直到最终得出结果。这个过程不光是为了得到“正确答案”，更重要的是培养逻辑思维能力。这种思维方式不仅仅适用于数学，事实上，在任何需要分析问题、做出判断的领域，逻辑推理都是不可或缺的。

尝试多种解法，或者从不同的角度看问题，也是一种极好的训练。数学问题从来不只有一种解法，不同的路径往往能带你走向同一个答案，而探索这些路径的过程，也是求知中最迷人的部分。

4. 不只是解题

数学是需要培养解决问题的艺术，而不是单纯的解题。所做的每一道题，不仅只为了得到一个答案，而是为了培养读懂、分析、解决问题的能力。这种能力会在面对复杂的现实世界时，展现出极大的价值。

有时，学生们会被困在题海中，机械重复着相似的题型，而没有真正深入思考问题的本质。其实，应该问自己：这道题背后要考察的是什么？学到的知识可以如何应用到其他类似问题中？

换句话说，数学为了让你具备独立思考、解决实际问题的能力。

5. 扎实的基础是一切的根本

数学学习，就像盖房子一样，地基必须打牢。如果你在基础阶段没有掌握好核心概念，那么在后续的学习中，问题会逐渐显现出来。

很多学生在遇到高阶数学时感到举步维艰，往往是因为前面的基础知识不够扎实。

学习新知识之前，确保对之前的内容有足够的掌握，尤其是那些看似简单但至关重要的概念，它们可是未来学习的基石。

6. 反思与总结

学习数学的过程，不应该是盲目的重复，而是有意识的反思和总结。每一次做完题或遇到陌生的题，都应该问自己：“我学到了什么？在哪些地方犯了错误？这些错误是偶然的，还是对哪个概念理解得不够深刻？”

通过不断地反思，就可以逐步提升自己的思维能力，避免在同一个地方跌倒两次。数学学习，是一个不断优化思维、修正错误的过程。

7. 合作与讨论

数学的学习不必一路都是孤独的。

与同学们一起讨论问题，交换思路，往往能带来意想不到的收获。有时，别人一个简单的解释，就能帮你豁然开朗。同样，当你能够向别人清楚地解释一个概念，说明对它的理解已经非常扎实了。

8. 保持好奇心，享受数学的乐趣

最后一点：希望各位朋友要保持好奇心。数学不只是必须要考的一门重要科目，它是一种探索世界的方式。

数学家们经常会因为一个简单的式子或形状而着迷，正是这种好奇心，推动了整个人类的数学进步。你也可以像他们一样，把数学当作一场冒险。去探索、去提问、去发现。享受这个过程，就会发现，数学的世界远比想象的更加广阔，也更加美丽。

数学和其他科目的学习就如登山，有时候会觉得路途艰险劳累，但当到达山顶时，会发现自己能看得更远，欣赏更多的壮丽风景，所有的努力都是值得的。

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学习数学的关键在哪里？原创遇见数学科学演绎法 2024年09月09日 20:16 河南

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像数学家一样思考的10种方法(修订)

原创 Kevin Houston 科学演绎法

「译者 | 实验室的猫」语：数学是一门神奇而美丽的学科，不仅只是公式、数字和计算的堆砌，更是一种思维方式，一种独特的观察世界的方式。

下面文章译自Kevin Houston公开提供的《10 Ways To Think Like A Mathematician》一书的试读小册子，这篇简短介绍展示了如何像一位数学家那样思考，如何用数学的眼光看待问题，以及如何运用数学的思维方法思考的难题。(这本书似乎暂时还没有中文版)

作者：Kevin Houston, kevinhouston.net/blog/2010/09/hello-world/
译者：实验室的猫

让我们首先承认一个事实：学数学确实不容易。然而，我坚信——而且信念坚定——只要你能像数学家那样洞察问题，学习数学的过程就会变得更加轻松。

因此，我的使命就是引导每一位学生，如何从数学家的角度去洞察世界。

这本小册子，正如它的标题所述，给出了十种方法，让你更接近数学家的思维方式。实际上，这本小册子是我畅销书籍《如何像数学家一样思考》的试读版。如果你希望避免单纯的应试学习，渴望真正理解数学的精髓，那么这本书就是为你而写的。

我希望这本小册子能激发你的灵感。如果有的话，请告诉我。我很想听听你的想法。

1. 质疑一切

在我看来，数学的魅力在于其能够被验证。你无需盲目接受别人的观点。如果有人宣称某事是真的，你完全可以要求他们来证明它。

更进一步，如果你真的希望像数学家那样思考，甚至可以自己去尝试把它证出来。不要让别人喂饭给你！

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你应该对他人的陈述持有怀疑的态度，试图找到反例来证明他们的错误。即便对方的观点是正确的，通过此种方式锻炼出的思维方式也是有益的。这种方式也有助于培养对于命题的敏感度。

比如，有人声称，从逻辑的角度思考，时间旅行是不可能的：如果时间旅行可能，那么我们自然会遇到很多来自未来的人。

对此，我能找到一些反驳的观点。比如，时间旅行只允许人向未来移动时间；时间旅行者不被允许与我们交流；时间旅行有一个范围，你不能回溯超过一年，而时间旅行还需要很多年才能实现（而且时间机器并不能被随时光运输）。

2. 写好每一句话

写好每一句话？你可能会问，这怎么会帮我像数学家一样思考？其实，一句完整准确的句子是论证的基础，高级数学更是关于证明的艺术，而不仅仅是得到正确的数值答案。

然而，许多学生忽视了书写句子的重要性。他们可能会抱怨：“我来上大学不是为了写论文的！”、“但我的答案是正确的！”或者“你知道我想说什么的！”

但是，如果你想真正理解数学并清晰地思考，你需要遵循句子书写的规范，这会让你非常仔细地思考你所论证的内容。如果你不能把句子正确地写出来，那么可能真的不清楚正在写什么。

这也是一个学习更多并提升你的技能的好机会。无论在哪个主题上，良好的写作都是一项有用的技能。因此，当你在写数学论证时，不要忽视句子的重要性。通过书写精确、清晰的句子，将更好地表达自己的想法，更好地理解数学，也更能成为像数学家一样思考的人。

【附加内容】提高你的数学写作和思维的一种简单方法是要知道如何正确使用蕴含符号。】

3. 逆命题的奥秘是什么？

形如 " $\Rightarrow B$ " 的命题是数学的核心。我们也可以说“如果为真，那么就为真。而对于这样的命题，我们还有一个亲密的伙伴，那就是它的逆命题，写作 “ $\Rightarrow A$ ”。

例如，“如果我是温斯顿·丘吉尔，那么我就是英国人”的反命题是“如果我是英国人，那么我就是温斯顿·丘吉尔”。

”这个例子生动地揭示了一个事实：即使一个命题为真，它的反命题并不一定为真。反命题可能真，也可能假。我们需要通过深入的研究才能得出明确的结论。

作为一名优秀的数学家，当遇到一个“如果 $A$ ，则 $B$ 类型的命题时，会自然而然地提出：“那它的逆命题成立吗？”这个问题应当深深地烙印在你的数学思维中，成为你的数学工具箱中重要的一部分。

实际上，无论逆命题是否为真并不重要，真正重要的是这个过程能助力你的数学思维变得更为敏锐。顺便提一句，人们在处理 " $\Rightarrow B$ " 时常犯的一个大错误是，他们认为如果 $A$ 不为真，那么 $B$ 也不为真。这是错误的，该命题只阐述了当 $A$ 为真时会发生什么，而并未涉及到当 $A$ 为假时的情况。那么，让我们一起挑战一下，像数学家一样思考，自己找出一个例子吧！

4. 探索逆否命题的奥秘

逆否命题(contrapositive)是陈述式 “ $\Rightarrow B$ ” 的对应形式, 即 “ $\mathbb{not}(B) \Rightarrow \mathbb{not}(A)$ ” 。

例如：

‘如果我是温斯顿·丘吉尔，那么我就是英国人’ 的逆否命题是 ‘如果我不是英国人，那么我就不是温斯顿·丘吉尔’。
‘我不是美国人，因此我不是德克萨斯人’ 的逆否命题是 '如果我是德克萨斯人，那么我是美国人
“ $x^2 - 4x -5 =0 \Rightarrow x \geq -2$ ” 的逆否命题是 “ $\Rightarrow x^2 -4x - 5 \ne 0$ ”。

令人惊讶的是，逆否命题的真值与 “ $\Rightarrow B$ ” 的真值相同！也就是说，如果 “ $\Rightarrow B$ ” 为真，那么 “ $\mathbb{not}(B) \Rightarrow \mathbb{not}(A)$ ” 也为真，反之亦然。

以上例子就为这一点提供了验证。这个概念初接触时可能难以理解，不少人都会有所质疑。实际上，有一个知名的教育实验与逆否命题的概念紧密相关，被称为华生选择任务(Wason’s selection task)。你是否愿意去试一试看能否通过这个测试呢？通过的人不足。由于逆否命题在证明中的广泛应用，以及我们在日常推理中对逆否命题的常见误解，因此你应该好好地研究和理解它。

5. 考虑极端情况

在研究数学定理时，我们应该尝试将其应用于一些平凡的(trivial)或极端的值例子。例如，可以考虑将特定的数字取为 $0$ 或 $1$ ，或者使用由 “ $f (x) = 0$ ” 定义的平凡函数，采用空集或平凡序列如 “ $1, 1, 1, 1, 1 . . .$ ”，或者考虑使用圆或直线等特殊情况。这些实例有助于我们更深入地理解定理，并能更清晰地揭示定理适用的情况。这种方法被称为“考虑极端的情况”。

思考

[实验室的猫]：在数学中，“ $t r i v i a l$ ”通常翻译为“平凡的”或“显然的” ，将费马大定理描述为方程 $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ 对 $n > 2$ 没有非平凡解。显然，这个方程确实有解。比如 $a = b = c = 0$ 对任何 $n$ 都是解， $a = 1$ ， $b = 0$ ， $c = 1$ , 也一样。但是这种解是显然而无趣的，从而称为平凡。

这些实例有助于我们更深入地理解定理，并能更清晰地揭示定理适用的情况。

举个例子，考虑这样的陈述：“ $y=x^2，z=y^2$ ，因此 $z\neq x^2$ ”。这个推理看上去似乎合情合理，因为 $y$ 和 $y^2$ 通常是不同的，但实际上这并不正确。试想当 $y = x = 1$ 的情况下， $z$ 是等于 $x^2$ 的。这个例子清晰地展示了考虑极端例子的重要性，这种方法有助于我们更好地理解和运用数学定理。

另一个例子是考虑这个命题：“ 假设 $a, b, c$ 和 $d$ 是整数。如果 $a b = c d$ 且 $a = c$ ，则 $b = d$ ”。要证明这个命题是错误的，我们可以采用极端例子的方法。为此，我们需要积累足够的例子并熟练掌握它们。假设 $a = c = 0$ ，那么我们可以选择 $b = 2$ 和 $d = 1$ ，这样就满足了条件 $a b = c d$ ，但 $b\neq d$ ，从而推翻了这个错误的命题。

总之，考虑极端例子是一种有用的方法，它能够帮助我们更好地理解和应用数学定理。在数学研究中，可能会遇到需要快速想出例子的情况，因此我们需要积累足够的例子并熟练掌握它们，以便在需要时能够迅速套用。

6. 构建你自己的例子

真正的数学家会设计出他们自己的例子，无论是标准的、极端的、还是反例！

让我们来看个较熟悉的例子，来体会整个流程吧。假设正在微积分的世界里探索函数的极大值和极小值。

首先需要理解函数是如何求导。然后，我们会了解到，那些导数值为零的点就是所说的驻点。接下来，会发现奇异点有三种形式：极大值、极小值和拐点。而函数的二阶导数能够帮我们确定这些驻点的类型。然后，我们就能看到一个具体的例子：这是一个函数，这是它的驻点，这是驻点的类型。这个过程看似简单，给定函数 “ $f$ ” ，对 “ $f$ ” 求导，然后求解 “ $f^{'} (x) = 0$ ” ，再次求导得到 $f^{''} (x) = 0$ ，并且通过 $f^{''} (x) = 0$ 的正负号判断驻点的类型。

这就是标准的处理方法。掌握了这个步骤，你就能轻松找出给定函数的极大值和极小值。然而，如果我换个角度问你：能否构造一个函数 “ $f$ ”，使其在 $x = 2$ 处达到最大值，在 $x = - 6$ 处达到最小值？这无疑是对你理解程度的更大考验，难度也更大。然而，正是在挑战这样的问题过程中，你能深入理解数学的魅力。

因此，面对已解答的例子，你应当逆向思考，自创新问题。更有趣的是，你可以与朋友们共同创造这些问题，交换彼此的问题，从而获取更多的练习机会。你甚至可以组织一场竞赛，看谁能设计出最具挑战性，但又能解决的问题。

7. 假设在何处发挥作用？

我经常听到学生们说，他们觉得理解数学证明非常困难。实际上，这并不出乎意料，因为证明往往是出于逻辑和效率的考虑，而非为了提供对定理表述的深度理解，或者揭示如何发现证明的过程。学生们常常陷入困境，甚至无法独立下手。

是的，理解证明的过程，无疑是迈向数学家之路最艰难的部分之一。《如何像数学家一样思考》的第 18 章全篇都是关于理解证明的各种策略——例如，分解证明，将证明应用于实例。我们只需考虑下面的技巧。

每个定理都有其假设。比如，毕达哥拉斯定理就会先假设平面上有一个直角三角形。这些假设在证明中必然会被使用，否则就成了无用之物。因此，积极寻找假设在何处被使用，你就能开始理解证明的过程。

有些假设可能不会直接阐明清楚。比如，证明可能会说“……根据定理 5.7，我们发现……”，而定理 5.7 可能需要更前面的某个假设。（顺便一提，如果一个定理在不同的证明中被反复使用，那它一定具有重要性，可能会被用在你的证明中，所以务必深入学习理解它。）

通过搞清假设，你就能开始步入证明的世界，学习其结构和内在联系。作为额外的奖赏，你的记忆也会得到加强，因为不再是被动接受信息，而是在主动探求知识。这种主动探求的过程，无疑能让你更好地理解和记住所学的内容！

8. 从复杂的一方开始

我最重要的一条建议是：在证明等价性时，通常最好从等式中较为复杂的一方开始，逐步替换以简化其复杂性。这样不仅能使问题更加清晰，还能让我们更加明确目标。

例如，想要证明对于所有的 $n\in\mathbb{R}$ 且 $x\neq\frac{n\pi}{2}$ （其中 $n\in\mathbb{Z}$ ），成立 $\tan x+\cot x=2 \operatorname{cosec} 2x$ 时，我们需要执行以下步骤：

$\cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$ , by substituting the definitions of tan and cot,

$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$

$\frac{1}{\sin x \cos x}$ , using $sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$=\frac{1}{(1/2)\sin 2x}$ , using a half angle formula,

$\operatorname{cosec} 2x$ , by definition of cosec.

注意，复杂的一方（或者更准确地说，我们可以进行替代和简化的一方）始终在等式的一边。如果你从等式开始并尝试重新排列它（如许多人所做），那么你有可能陷入循环。你也可能冒着要证明假设的风险。

9. 提问"如果…会怎样？"

优秀的数学家善于提出这样的诘问：“假设……会怎样？”例如，若我们删掉某项假设，会有何影响？深度探求此类问题，我们能对为何某一结果为真，或者某条定义为何这样阐述，有更深一层的理解。有时候，减弱假设的力度，竟会带领我们走向新的定理的发现！

再举一个“假设”的例子，数学对象通常是在附加某些条件的前提下的集合。在最简单的层次上，我们可以将有限集定义为元素数量有限的集合，但也有更为复杂的例子，如群。（群是一种拥有特定"乘法"运算的集合，且这种乘法需要满足特定的性质。）

现在，假设我们有集合 $A$ 和 $B$ ，我们可以构造他们的乘积 $\times B$ 。我们可以问：如果和各自具备某种性质，那么是否也拥有同样的性质？例如，假设 $A$ 和 $B$ 都是有限集，那么 $\times B$ 是有限集吗？答案是肯定的。如果 $A$ 和 $B$ 都是无穷集，那么 $\times B$ 是无穷集吗？如果 $A$ 和 $B$ 分别是群，那么 $\times B$ 是群吗？如果拓扑空间 $A$ 和 $B$ 是紧致空间，那么 $\times B$ 也是吗？等等。

这个理念在于，我们总是通过提问，去扩展知识边界，加深我们的理解。

10. 交流沟通，知识的交融！

当克里斯托弗·泽曼爵士创立沃里克大学的数学研究所时，他提出的一个核心理念是：为了营造浓厚的数学气氛，研究所应当在走廊里摆放足够多的黑板，而不仅仅是在讲堂内，以便于人们随时停下脚步，互相交流和解释各自的研究。

这种做法不仅可以鼓励合作，更重要的是，它可以让每个人的工作得到他人的检验。剑桥的艾萨克·牛顿研究所更是将这种理念发扬光大，在厕所、甚至在只运行两层的电梯里都设置了黑板！

与他人进行交流沟通有着无数的好处。解释你的工作会促使你更深入、更清晰地思考。你可以从别人那里学习，他们可以指出思维中的漏洞，或者提出解决问题的新思路。甚至你在解说的过程中，也可能获得新的启发。

因此，寻找一个可以交谈的人。没有找到？那就去寻找。如果在教师，试着坐到某人旁边，询问他们如何完成练习 3.2 或者其他的。就从这里开始你的数学之旅吧……

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像数学家一样思考的10种方法(修订) 原创 Kevin Houston 科学演绎法 2023年08月20日 09:17 河南

https://mp.weixin.qq.com/s/Z9h_KsoIZ3d0r_y8Iu_8IQ

10 Ways ToThink Like AMath

https://math.jhu.edu/~brown/courses/f19/Documents/10WaysToThinkLikeAMath.pdf
Kevin Houston – How to Think Like a Mathematician

https://www.kevinhouston.net/httlam.html