秩为1的矩阵可以表示为两个向量的外积，为什么

秩为 1 的矩阵可以表示为两个向量的外积，原因源于矩阵的线性代数性质。以下是详细的解释：

1. 矩阵的秩定义

• 矩阵的秩是矩阵列向量（或行向量）线性无关的最大个数。
• 当矩阵的秩为 1 时，所有列向量（或行向量）都可以表示为某一个非零向量的线性组合。

2. 外积定义

两个向量 $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^m$ 和 $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$ 的外积定义为一个 $m\times n$ 的矩阵：
$$\mathbf{A}=\mathbf{u}{\mathbf{v}}^{\top }$$
其中 ${\mathbf{A}}_{ij}=u_i{v}_j$，即矩阵的每个元素是 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的对应元素相乘得到。

3. 外积矩阵的秩

外积矩阵 $\mathbf{A}=\mathbf{u}{\mathbf{v}}^{\top }$ 的秩为 1，原因如下：

1. 矩阵 $\mathbf{A}$ 的列是向量 $\mathbf{u}$ 的线性组合：

   • 第 $j$ 列为 $\mathbf{u}{v}_j$，即所有列都是 $\mathbf{u}$ 按比例缩放得到的。
   • 因此，所有列向量都线性相关，矩阵的列空间维数为 1。

2. 类似地，矩阵 $\mathbf{A}$ 的行是向量 $\mathbf{v}$ 的线性组合：

   • 第 $i$ 行为 $\mathbf{v}{u}_i$，所有行都线性相关，行空间维数也为 1。

综上，矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩为 1。

4. 反向证明

当矩阵的秩为 1 时，也可以反推出它可以表示为两个向量的外积：

设矩阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 满足 $\text{rank}(\mathbf{A})=1$：

1. 秩为 1 意味着矩阵的所有列向量是某个非零向量 $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^m$ 的线性组合：
   $$\mathbf{A}=[\mathbf{u}{\alpha }_1,\mathbf{u}{\alpha }_2,\dots ,\mathbf{u}{\alpha }_n]$$
   其中 ${\alpha }_j\in \mathbb{R}$ 表示第 $j$ 列的缩放比例。

2. 提取 $\mathbf{u}$，将列向量的线性组合形式转换为矩阵形式：
   $$\mathbf{A}=\mathbf{u}[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n]$$
   定义 $\mathbf{v}=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n{]}^{\top }$，于是：
   $$\mathbf{A}=\mathbf{u}{\mathbf{v}}^{\top }$$

因此，秩为 1 的矩阵可以写成两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的外积。

5. 具体例子

考虑一个 $3\times 3$ 的秩为 1 的矩阵：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 1& 2& 3\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$$

验证秩：

矩阵行之间存在线性相关关系：
$$\text{第 2 行}=\frac{1}{2}\times \text{第 1 行},\text{第 3 行}=\frac{3}{2}\times \text{第 1 行}$$
因此，矩阵的秩为 1。

写成外积形式：

选择 $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right]$，选择 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$，则：
$$\mathbf{A}=\mathbf{u}{\mathbf{v}}^{\top }=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 1& 2& 3\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$$

6. 结论

• 秩为 1 的矩阵的列空间和行空间都是 1 维，矩阵可以通过两个向量的外积表示。
• 这种表示形式揭示了矩阵的低秩结构。