场地面积的误差分析

某场地长$l$ 的值为$l^{\ast }=110$m,宽 $d$ 的值为$d^{\ast }=80$m，知
$|l-l^{\ast }|⩽0.2$m$,|d-d^{\ast }|⩽0.1$m，试求面积 S=$ld$ 的绝对误差限与相对误差限。

解：

S=$ld，\frac{\partial }{S}\partial l=d，\frac{\partial S}{\partial d}=l$，

故

$$\epsilon (S^{\ast })\approx \left|{\left(\frac{\partial S}{\partial l}\right)}^{\ast }\right|\epsilon (l^{\ast })+\left|{\left(\frac{\partial S}{\partial d}\right)}^{\ast }\right|\epsilon (d^{\ast }),$$

其中

$${\left(\frac{\partial S}{\partial l}\right)}^{\ast }=d^{\ast }=80\text{ m,}{\left(\frac{\partial S}{\partial d}\right)}^{\ast }=l^{\ast }=110\text{ r}$$

而

$$\epsilon (l^{\ast })=0.2m,\epsilon (d^{\ast })=0.1m$$

于是绝对误差限为

$$\epsilon (S^{\ast })\approx (80\times 0.2+110\times 0.1){\mathrm{m}}^2=27{\mathrm{m}}^2$$

相对误差限为

$${\epsilon }_r(S^{\ast })=\frac{\epsilon (S^{\ast })}{|S^{\ast }|}=\frac{\epsilon (S^{\ast })}{l^{\ast }{d}^{\ast }}\approx \frac{27}{8800}=0.31\%$$