S变换的提出
1996年，由R.G Stockwell 提出了S变换，和其他时频分析工具一样，通过S变换，我们可以同时从时域以及频域观察一个信号的能量分布。S变换融合了短时傅里叶变换和小波变换的优点。关于S变换，最早发表于TSP上的文章Localization of the complex spectrum: the S transform：
Stockwell R G , Mansinha L , Lowe R P . Localization of the complex spectrum: the S transform[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, 44(4):998-1001.
S变换采用高斯函数作为窗，且该时间窗和频率有关，在低频部分时窗较大，在高频部分时窗时窗较小。作为线性时频分析方法，它的频率分辨率和时间分辨率无法同时达到最优。
由于在高频时，时窗较小，当信号在高频比较丰富时，S变换得到的时频分辨率就会出现比较严重的混叠现象。
S变换的定义
对应信号
x
(
t
)
∈
L
2
(
R
)
x(t)\in L^2(R)
x(t)∈L2(R)，
L
2
(
R
)
L^2(R)
L2(R)为能量有限函数空间，
x
(
t
)
x(t)
x(t)的S变换的表达式为
S
(
τ
,
f
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
(
t
)
∣
f
∣
2
π
e
−
(
t
−
τ
)
2
f
2
2
e
−
j
2
π
f
t
d
t
S(\tau,f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\frac{|f|}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\tau)^2f^2}{2}}\mathrm{e}^{-j2\pi ft}dt
S(τ,f)=∫−∞+∞x(t)2π∣f∣e−2(t−τ)2f2e−j2πftdt
式中，
x
(
t
)
x(t)
x(t)是关于时间的连续函数，
τ
\tau
τ是一个控制参数，用来确定高斯窗在时间轴上的位置，
f
f
f是频率。其中高斯窗函数定义为：
ω
(
t
,
f
)
=
1
σ
(
f
)
2
π
e
−
t
2
2
σ
(
f
)
2
\omega(t,f)=\frac{1}{\sigma(f)\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2\sigma(f)^2}}
ω(t,f)=σ(f)2π1e−2σ(f)2t2
窗口的标准差为：
σ
(
f
)
=
1
∣
f
∣
\sigma(f)=\frac{1}{|f|}
σ(f)=∣f∣1
由上式可以看出，标准差
σ
(
f
)
\sigma(f)
σ(f)为频率的函数，取值为绝对值的倒数。由此可知
ω
(
t
,
f
)
\omega(t,f)
ω(t,f)会随着频率的变换而自适应调整。
因此S变换的时频分辨率和频率的关系入下：
- 在处理低频信号时，S变换的窗口较宽，这有助于捕捉低频信号的细微变化，从而提高频率分辨率。
- 相反，在处理高频信号时，S变换的窗口较窄，这有助于精确地定位高频信号的时间位置，从而提高时间分辨率。
