【C语言的小角落】--- 深度理解取余/取模运算

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(๑•́ ₃ •̀๑) 文章专栏： C语言的小角落

本篇博客我们来深度理解取余/取模，以及它们在不同语言中出现不同现象的原因。

🏠 关于取整

🎵 向0取整

#include <stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
  //本质是向0取整
  int i = -2.9;
  int j = 2.9;
  printf("%d\n", i); //结果是：-2
  printf("%d\n", j); //结果是：2
  int a = 5;
  int b = -5;
  printf("%d %d",a/2,b/2);
  system("pause");
  return 0;
}

测试结果：

我们发现测试结果中浮点数取整都是往0方向取整的：

其实在C库中有个trunc取整函数，也是向0取整：

🎵 向-∞取整

#include <stdio.h>
#include <math.h> //因为使用了floor函数，需要添加该头文件
#include <windows.h>
int main()
{
 //本质是向-∞取整，注意输出格式要不然看不到结果
  printf("%.1f\n", floor(-2.9)); //-3
  printf("%.1f\n", floor(-2.1)); //-3
  printf("%.1f\n", floor(2.9)); //2
  printf("%.1f\n", floor(2.1)); //2
  system("pause");
  return 0;
}

测试结果：

我们发现当调用floor函数取整时是结果都变小，往-∞方向取整：

🎵 向+∞取整

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <windows.h>
int main()
{
  //本质是向+∞取整，注意输出格式要不然看不到结果
  printf("%.1f\n", ceil(-2.9)); //-2
  printf("%.1f\n", ceil(-2.1)); //-2
  printf("%.1f\n", ceil(2.9)); //3
  printf("%.1f\n", ceil(2.1)); //3
  system("pause");
  return 0;
}

测试结果：

我们发现调用ceil函数时取整是结果都变大，往+∞方向取整：

🎵 四舍五入取整

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <windows.h>
int main()
{
 //本质是四舍五入
 printf("%.1f\n", round(2.1));
 printf("%.1f\n", round(2.9));
 printf("%.1f\n", round(-2.1));
 printf("%.1f\n", round(-2.9));
 system("pause");
 return 0;
}

测试结果：

round()函数采用的取整方式就是我们四舍五入取整，逢五进一。

🎵 多种取整方式汇总

#
include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <windows.h>
int main()
{
  const char * format = "%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f\n";
  printf("value\tround\tfloor\tceil\ttrunc\n");
  printf("-----\t-----\t-----\t----\t-----\n");
  printf(format, 2.3, round(2.3), floor(2.3), ceil(2.3), trunc(2.3));
  printf(format, 3.8, round(3.8), floor(3.8), ceil(3.8), trunc(3.8));
  printf(format, 5.5, round(5.5), floor(5.5), ceil(5.5), trunc(5.5));
  printf(format, -2.3, round(-2.3), floor(-2.3), ceil(-2.3), trunc(-2.3));
  printf(format, -3.8, round(-3.8), floor(-3.8), ceil(-3.8), trunc(-3.8));
  printf(format, -5.5, round(-5.5), floor(-5.5), ceil(-5.5), trunc(-5.5));
  system("pause");
  return 0;
}

测试结果：

总结一下：

浮点数(整数/整数)，是有很多的取整方式的。常见的是向上取整，向下取整，向0取整，四舍五入取整，其中C语言默认是向0取整。
从汇总例子看，相同的浮点数采用不同的取整方案也可能得到相同的整数。
取整方案的使用取决于你的具体场景，比如每台服务器能处理 5 个任务，18 个任务需要 ⌈18/5⌉=4 台服务器，用向上取整预留足够的额外资源。

🏠 关于取模

🎵 取模初步概念

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d。其中，q被称为商，r 被称为余数。

#include <stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
 int a = 10;
 int d = 3;
 printf("%d\n", a%d); //结果是1
 system("pause");
 return 0;
}

测试结果：

测试结果是符合我们给的定义的，因为a=10,d=3,q=3,r=1(其中 0<= r < d),因此a = q*d + r -> 10 = 3*3 +1。

如果是以下测试代码呢？

🎵 取模修订定义

C语言 vs2019

#include<stdio.h>
#include<windows.h>
#include<math.h>

int main()
{
	int a = -10;
	int d = 3;
	//printf("%d\n", a/d); //C语言中是-3，很好理解
	printf("%d\n", a % d);
	return 0;
}

测试结果：

Python 3.10.12

很显然,上面关于取模的定义,并不能满足语言上的取模运算 : 在C语言测试环境下,10%3得到的余数不满足r>0的要求。因此大家对取模有了一个修订版定义：

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r|< |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

对于C：-10 = （-3) * 3 + (-1) ,其中0 < |-1| < 3

对于Python：-10 = (?) * 3 + 2，可以推导出其q应该为-4才能满足定义。

在不同语言中，同一个计算表达式，负数“取模”结果是不同的，我们可以称之为正余数和负余数。

Q：为什么会出现正余数和负余数？

答：具体余数r的大小，本质是取决于商q的。而商，取决于除法计算时的取整规则！因此本质是处理商时的取整方式不同，导致了得到的具体余数不同！

🏠 取模 vs 取余

取模和取余两者并不能严格等价(但是大部分情况下是能等价的)，取余或者取模，都应该要算出商，然后才能得出余数。在计算机科学中，我们规定的取余和取模本质上它们的取整方式不同：

取余：尽可能让商，进行向0取整。
取模：尽可能让商，进行向-∞取整。

因此我们可以推导出：

1. 对任何一个大于0的数(正数)，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向一致（方向都指向横向数轴左边），此时取模等于取余！

2. 对任何一个小于0的数(负数)，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向相反(0向取整指向右，负无穷取整指向左)，此时取模不等于取余！

🎵 同符号运算

C语言

#include <stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
    printf("被除数和除数都是正数：\n");
	printf("%d\n", 10 / 3);
	printf("%d\n", 10 % 3);
	printf("被除数和除数都是负数：\n");
	printf("%d\n", -10 / -3);
	printf("%d\n", -10 % -3);
	system("pause");
    return 0;
}

测试结果：

Python 3.10.12

print(10//3)
print(10%3)
print(-10//-3)
print(-10%-3)
注意：python中 / 默认是浮点数除法，//才是整数除法，并进行-∞取整

测试结果:

通过不同环境对比，我们发现当同符号数据相除时，它们的商一定是正数(正数vs正整数)，即大于0！因此，在对其商进行取整时，取模等价于取余！

结论：参与相除的两个数据，如果同符号，取模等价于取余！

🎵 不同符号运算

C语言

#include <windows.h>
#include<stdio.h>
int main()
{
 printf("%d\n", -10 / 3); //结果：-3
 printf("%d\n\n", -10 % 3); //结果：-1 为什么? -10=(-3)*3+(-1)
 printf("%d\n", 10 / -3); //结果：-3
 printf("%d\n\n", 10 % -3); //结果：1 为什么？10=(-3)*(-3)+1
 system("pause");
 return 0;
}

测试结果：