前言
《线性代数(三) 线性方程组&向量空间》我通过解线性方程组的方式去理解线性空间。此章从另一个角度去理解
空间是什么
大家较熟悉的：平面直角坐标系是最常见的二维空间
空间由无穷多个坐标点组成
每个坐标点就是一个向量
- 反过来，也可说：2维空间，是由无穷多个2维向量构成
- 同样的，在3维空间中，每个3维坐标点就是一个3维向量
- 那么同理：3维空间中有无穷多个3维向量，或3维空间由无穷多个3维向量构成
空间中所有向量，都可被表示成
e
1
⃗
,
e
2
⃗
,
.
.
.
,
e
n
⃗
\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},...,\vec{e_{n}}
e1,e2,...,en的线性组合,若有一向量记为:
a
⃗
\vec{a}
a
a
⃗
=
k
1
⋅
e
1
⃗
+
k
2
⋅
e
2
⃗
+
.
.
.
+
k
n
⋅
e
n
⃗
，
k
1
,
k
2
,
.
.
.
,
k
n
有解即可
\vec{a}=k_{1}·\vec{e_{1}}+k_{2}·\vec{e_{2}}+...+k_{n}·\vec{e_{n}} ， k_{1},k_{2},...,k_{n}有解即可
a=k1⋅e1+k2⋅e2+...+kn⋅en，k1,k2,...,kn有解即可
则称：这些向量
e
1
⃗
,
e
2
⃗
,
.
.
.
,
e
n
⃗
\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},...,\vec{e_{n}}
e1,e2,...,en为这个空间基
线性空间定义及性质
向量相加
[
x
1
y
1
]
+
[
x
2
y
2
]
=
[
x
1
+
x
2
y
1
+
y
2
]
=
[
2
+
3
4
+
1
]
\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1+ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 3 \\ 4+ 1 \end{bmatrix}
[x1y1]+[x2y2]=[x1+x2y1+y2]=[2+34+1]
数与向量乘法
[
x
y
]
∗
2
=
[
2
x
2
y
]
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} * 2 = \begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix}
[xy]∗2=[2x2y]
维数,坐标和基
这里出现了一个线性无关的概念，这里线性无关的概念和向量空间中的线性无关差不多，但向量的范围变广了。
- n维线性空间V的基不是唯一的。V中的任意n个线性无关向量都是V的一组基
- 向量 a ⃗ \vec{a} a的坐标 ( a 1 , a 2 , . . . a n ) (a_1,a_2,...a_n) (a1,a2,...an)在 ( ε 1 , ε 2 , . . . ε n ) (\varepsilon_1,\varepsilon_2,...\varepsilon_n) (ε1,ε2,...εn)基下，是唯一且确定的
要怎么确定线性空间的维数与基
欧几里得空间
欧几里得空间是空间中的一种类型，是一种特殊的集合。欧几里得集合中的元素：有序实数元组
例：(2,3)(2,4)(3,4)(3,5)为有序实数2元组
- 有序是指：如(2,3)和(3,2)是两个不同的元素
- 也就是：每个元素内的实数是讲顺序的
- 实数是指：每个元素内的数字都∈R
- 元组是指：每个元素有有序几个数字构成
- 如：2个数字构成=2元组，n个数字构成=n元组
欧几里得集合=有序实数元组=n维坐标点的集合
所以，欧几里得空间就是我们从小到大进场使用的那个空间
欧几里得空间符合空间的8大定理
子空间
子空间，是整个空间的一部分。但它也是空间，必须满足向量空间的定义。
子空间的交集
子空间的和
子空间的
V
1
,
V
2
V_1,V_2
V1,V2的并集，并不是简单的元素相加，造成“子空间的并集不属于子空间”。
所以定义子空间的和
子空间的直和
子空间直和是特殊的和。基要求各子空间互相独立。
可以把整个线性空间看成一个大蛋糕。
- 直和分解就是把蛋糕切成小块的，每一小块蛋糕都是一个子空间，所有小蛋糕之间没有交集，且它们能拼成整个蛋糕。
- 子空间的和就是分蛋糕的时候没切好，小蛋糕拼不成整个蛋糕(子空间之间的交集非空).
内积空间
在之前的内容中，我们抽象的介绍了向量，矩阵以及线性空间线性变换等。但是在几何中，向量还有向量的模，向量的内积运算等。为了引入向量的模，向量的内积等运算，我们引入了“内积定义”。即内积空间=线性空间+内积定义。
向量的夹角
cos
θ
=
cos
(
α
−
β
)
=
cos
(
α
)
cos
(
β
)
+
sin
(
α
)
sin
(
β
)
=
x
1
x
1
2
+
y
1
2
∗
x
2
x
2
2
+
y
2
2
+
y
1
x
1
2
+
y
1
2
∗
y
2
x
2
2
+
y
2
2
\cos\theta = \cos(\alpha-\beta) =\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)=\cfrac{x_1}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_1} + \bar{y_1} }} * \cfrac{x_2}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_2} + \bar{y_2} }} + \cfrac{y_1}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_1} + \bar{y_1} }} * \cfrac{y_2}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_2} + \bar{y_2} }}
cosθ=cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)=x12+y12x1∗x22+y22x2+x12+y12y1∗x22+y22y2
cos
θ
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
x
1
2
+
y
1
2
x
2
2
+
y
2
2
=
a
⃗
∗
b
⃗
∣
a
⃗
∣
∣
b
⃗
∣
\cos\theta = \cfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_1} + \bar{y_1}}\sqrt{\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_2} + \bar{y_2}}} = \cfrac{\vec{a} *\vec{b}}{|\vec{a} ||\vec{b}|}
cosθ=x12+y12x22+y22x1x2+y1y2=∣a∣∣b∣a∗b
上述的a,b向量，只是在2维坐标系中，如果将坐标系转为n维度,即向量a为(x1,x2,x3…xn)向量b为(y1,y2,y3…yn)
cos
θ
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
∗
y
i
)
∑
i
=
1
n
x
i
2
∑
i
=
1
n
y
i
2
=
[
a
,
b
]
[
a
,
a
]
[
b
,
b
]
\cos\theta = \cfrac{\sum_{i=1}^n(x_i*y_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x_i}}\sqrt{\sum_{i=1}^n\gdef\bar#1{#1^2} \bar{y_i}}}=\cfrac{[a,b]}{\sqrt{[a,a]}\sqrt{[b,b]}}
cosθ=∑i=1nxi2∑i=1nyi2∑i=1n(xi∗yi)=[a,a][b,b][a,b]
两个向量的夹角 θ \theta θ=90°，即两个向量正交.
两个向量相互正交，把这2个向量合为一组向量，就叫正交向量组
正交基
如果
∣
e
n
∣
=
1
|e_n|=1
∣en∣=1,则称为标准正交基
施密特（Schmidt）求解正交基
通过简单的投影方式，可以找到一基的正交基
已知一组基{KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 18: …lpha_1,\alpha_2}̲求其正交基组
- 令 β 1 = α 1 \beta_1=\alpha_1 β1=α1
- 得 β 1 \beta_1 β1的上的单位基为 β 1 [ β 1 , β 1 ] \cfrac{\beta_1}{\sqrt{[\beta_1,\beta_1]}} [β1,β1]β1
- 计算 α 1 \alpha_1 α1在 β 1 \beta_1 β1上的投影
- 计算投影长度， [ α 2 , β 1 ] [ α 2 , α 2 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ [ α 2 , α 2 ] \cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{\sqrt{[\alpha_2,\alpha_2]}\sqrt{[\beta_1,\beta_1]}} *\sqrt{[\alpha_2,\alpha_2]} [α2,α2][β1,β1][α2,β1]∗[α2,α2]
- 投影为长度* β 1 \beta_1 β1的上的单位基 [ α 2 , β 1 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ β 1 \cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]} *\beta_1 [β1,β1][α2,β1]∗β1
- 得正交基为 α 2 − [ α 2 , β 1 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ β 1 \alpha_2 - \cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]} *\beta_1 α2−[β1,β1][α2,β1]∗β1
- 正交基组为{ α 2 − [ α 2 , β 1 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ β 1 , [ α 2 , β 1 ] [ β 1 , β 1 ] ∗ β 1 \alpha_2 - \cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]} *\beta_1,\cfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]} *\beta_1 α2−[β1,β1][α2,β1]∗β1,[β1,β1][α2,β1]∗β1}
如果是三维的话
正交补
定义： 设 U U U是 V V V的子空间，则 U ⊥ = { v ∈ V : ∀ u ∈ U < v , u > = 0 } U^\perp =\{v\in V : \forall u\in U \left< v,u\right> =0 \} U⊥={v∈V:∀u∈U⟨v,u⟩=0}称之为 U U U的正交补. ∀ u \forall u ∀u表示集合中所有u的意思
- U ⊥ U^\perp U⊥是 V V V的子空间;
- V ⊥ = { 0 } V^\perp=\{0\} V⊥={0}且 { 0 } ⊥ = V \{0\}^\perp=V {0}⊥=V
- U ⊥ ∩ U = { 0 } U^\perp \cap U = \{0\} U⊥∩U={0};
- 如果 U , W U,W U,W都是 V V V的子集，且 U ⊆ W U\sube W U⊆W ，则 W ⊥ ⊆ U ⊥ W^\perp \sube U^\perp W⊥⊆U⊥
定理： 有限维子空间的正交分解： V = U ⊕ U ⊥ V= U \oplus U^\perp V=U⊕U⊥
- ( U ⊥ ) ⊥ = U (U^\perp)^\perp=U (U⊥)⊥=U
- dim V = dim U + dim U ⊥ \dim V = \dim U + \dim U^\perp dimV=dimU+dimU⊥
如何求解正交补的基？
- 假设 d i m V = 3 , d i m U = 2 且基组为 [ { 1 , 0 , 0 } , { 0 , 1 , 0 } ] dim V = 3 , dim U = 2 且基组为[\{1,0,0\},\{0,1,0\}] dimV=3,dimU=2且基组为[{1,0,0},{0,1,0}]
- 得矩阵 A = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix} 1 &0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} A= 100010000
- 假设 U ⊥ U^\perp U⊥的基组 x ⃗ = [ x y z ] \vec{x}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} x= xyz
- 得 A x = 0 Ax=0 Ax=0齐次方程组，你通解为{0,0,1}
正交补的基就是方程组的解，解数=dim V - R(A)
主要参考
《欧几里得空间是向量空间》
《生成空间是什么》
《子空间的交与和》
《3.10子空间的运算》
《正交基与标准正交基》
《如何理解施密特（Schmidt）正交化》
《正交补 (orthogonal complements)》
