3D数学基础2

矩阵的行列式

在任意方阵中都存在至少一个标量，称作该方阵的行列式。在线性代数中，行列式有很多有用的性质

线性运算法则

方阵 $M$ 的行列式记作 $∣ M ∣$ 或“det M”。非方阵矩阵的行列式是未定义的。
在这里插入图片描述注意，在书写行列式时，两边用竖线将数字块围起来，省略方括号。

如果将3×3阶矩阵的行解释为3个向量，那么矩阵的行列式等于这些向量的所谓“三元组积”

在这里插入图片描述

余子式

假设矩阵M有r行，c列。记法 $M^{(ij)}$ 表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。显然，该矩阵有r-1行，c-1列。矩阵M称作M的余子式。
在这里插入图片描述

代数余子式

对方阵M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式
$C_{ij}=(-1)^{(i+j)}∣M^{(ij)}∣$
记法 $C_{ij}$ 表示M的第i行，第j列元素的代数余子式

余子式是一个矩阵，代数余子式是一个标量

代数余子式计算式中的项 $1)^{(i+j)}$ 有以棋盘形式使矩阵的代数余子式每隔一个为负的效果:
在这里插入图片描述
$∣M∣=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^2x_i$

行列式的性质

矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积: $∣ A B ∣=∣ A ∣∣ B ∣$ 。
这可以扩展到多个矩阵的情况:
$M_1M_2...M_n∣=∣M_1∣∣M_2∣...∣M_n∣$
矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式: $M^T ∣=∣M|$ 。
如果矩阵的任意行或列全为零，那么它的行列式等于零。
交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负。
任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的值。

几何解释

2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积。有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位“翻转”，那么面积变负。
3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积。
3D中六面体“由里向外”翻转,则行列式变负。
行列式和矩阵变换导致的尺寸改变相关。
其中行列式的绝对值和面积(2D)、体积(3D)的改变相关。
行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜象或投影。
矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类。
如果矩阵行列式为零，那么该矩阵包含投影。
如果矩阵行列式为负，那么该矩阵包含镜象。

矩阵的逆

矩阵的求逆只能用于方阵
方阵 $M$ 的逆，记做 $M^{-1}$ ，也是一个矩阵， $M$ 与 $M^{-1}$ 相乘，结果是单位矩阵
$M(M^{-1})=M^{-1}M=I$
并非所有矩阵都有逆。一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零，用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆的或奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为零，非奇矩阵的行列式不为零，所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法。此外，对于任意可逆矩阵 $M$ ，当且仅当 $\vec v=\vec 0$ 时， $\vec vM=0$ 。
$M$ 的“标准伴随矩阵”记作“adj M"，定义为 $M$ 的所有代数余子式项构成的矩阵的转置矩阵。
在这里插入图片描述
M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置:

矩阵的逆能够用标准伴随矩阵除以行列式来求得:
$M^{-1}=\frac {adjM}{∣M∣}$

以上矩阵的计算如下：
在这里插入图片描述
矩阵的逆的重要性质:

如果M是非奇异矩阵，则该矩阵的逆的逆等于原矩阵: $M^{-1})^{-1} =M$ 。
单位矩阵的逆是它本身: $I^{-1}=Ⅰ$ 。
矩阵转置的逆等于它的逆的转置: $M^T)^{-1}=(M^{-1})^T$
矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序的乘积: $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 。这可扩展到多个矩阵的情况: $M_1M_2…M_n)^{-1}=M_n^{-1}...M_2^{-1}M_1^{-1}$

几何解释

矩阵的逆在几何上可以计算变换的“反向”或“相反”变换——能“撤消”原变换的变换。所以，如果向量 $\vec v$ 用矩阵 $M$ 来进行变换，接着用 $M$ 的逆 $M^{-1}$ 进行变换，将会得到原向量。
$(\vec vM)M^{-1}=\vec v(MM^{-1})=\vec vI=\vec v$