基于傅立叶神经网络（FNN）与物理信息神经网络（PINN）求解泊松方程

一、引言

偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）在科学与工程领域有着广泛的应用。传统数值方法（如有限差分法、有限元法）在求解这类问题时，尽管已经非常成熟，但随着问题复杂度的增加，其计算成本也显著提高。近年来，深度学习技术的发展为偏微分方程的求解提供了新的思路。物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）通过将偏微分方程的物理规律直接融入到神经网络的损失函数中，实现了对偏微分方程的直接求解。

在此基础上，傅立叶神经网络（Fourier Neural Network, FNN）利用傅立叶基函数增强了对周期性函数的表达能力，从而能够更高效地捕获偏微分方程解的频谱信息。本文结合 PINN 和 FNN 两种方法，通过 PyTorch 框架实现了对泊松方程的求解，并详细展示了实现过程及实验结果。

二、傅立叶神经网络（FNN）的构建

1. 网络结构设计

傅立叶神经网络的关键在于引入傅立叶基函数，通过频率参数