数字逻辑（七）——逻辑运算中三种基本运算及其符合运算

1 三种基本逻辑运算

1.1 与（AND）

1.2 或（OR）

1.3 非（NOT）

2 由基本门电路组成的其他门电路

2.1 异或

2.2. 同或

2.3 与非

2.4 或非

用于分析数字电路中逻辑功能的数学方法——逻辑代数（或者称为布尔代数）。

广义上，逻辑泛指规律，分为思维逻辑和数理逻辑。数理逻辑，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科，属逻辑形式上符号化、数学化的逻辑。而逻辑代数和数理逻辑有巨大的联系，可以相互联系相互促进，代数可以帮助解决数理逻辑中的一些问题，而数理逻辑又可以帮助解决代数问题。

逻辑代数的基本运算包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种。

1 三种基本逻辑运算

1.1 与（AND）

如果有两个操作数A和B，必须A和B的条件都满足，结果才为真，其他情况结果为假，那么就是逻辑与，可以写为：

$Y=A.B=AB$

上面公式是最常用的方式，同时也可以写成Y=A & B=A AND B。

在逻辑运算中，用“.”表示逻辑与运算，用“+”表示逻辑或运算，右上角“ ' ”表示逻辑非运算。

写成真值表为：

表1 逻辑与的真值表
A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

逻辑与的符号形式：

或

逻辑与的电路图为

在上面电路中，当A=1表示开关闭合，A=0表示开关断开，Y=1表示灯亮，Y=0表示灯灭。当A和B均闭合时，灯泡Y亮，当A和B有一个是断开状态时，灯泡Y灭。两个条件必须全部具备，为真的结果才会发生。

使用Digital软件绘制逻辑与的电路图如下所示：

在上图中，开关处是一个继电器，继电器是一种自动控制电路的子开关。当A和B均为0的时候，可以看到Y为0。

当A为0，B为1时：

可以看到Y输出为0。

当A为1，B为0的情况如下图所示：

当A为1，B为0时，Y的输出为0。

当A和B都为1时：

当A和B都为1时，那么此时Y输出为1。

通过对比各种输入情况下的输出情况，可以得到这是逻辑与的电路图，可将其进行保存，这里推荐保存在Digital文件夹中的lib位置：

为什么要保存在lib文件夹中呢？因为如果我们以后想使用这个文件的功能，直接在组件中选用即可。如下所示：

直接调用之前做的逻辑与的组件示意图如下所示：

或者可以直接使用软件中逻辑与的符号：

1.2 或（OR）

如果有两个操作数A和B，A和B中有一个条件满足，那么结果就为真，如果A和B两个条件均不满足，结果为假，这就是逻辑或，可以写为：

$Y=A+B$

上面公式是最常用的公式，除此之外还有Y=A|B=A OR B。

写成真值表的形式为：

表2 逻辑或的真值表
A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

逻辑或的符号形式：

或

逻辑或的电路是：

在上面的电路中，A和B有一个处于闭合状态，那么灯泡就亮，如果A和B都处在断开状态，那么灯泡Y灭。

使用Digital软件绘制的电路图如下所示：

当A和B均为0，此时Y的输出结果为0。

当A和B其中有1个不为0时，例如当A为1，B为0时，此时电路如下所示：

由上图结果可知，当A和B有一个为1时，那么Y的输出为1。

当A和B均为1时，电路图如下所示：

可以看到，当A和B均为1时，此时Y的输出为1。从输出结果来看，可以看到符合真值表结果。

将逻辑或文件其保存在lib文件夹中：

同时也可以直接应用软件中的逻辑或组件：

1.3 非（NOT）

如果有一个操作数A，如果输入A为真，那么结果为假，如果输入A为假，那么结果为真。可以写为：

$Y=A'$

或者写成Y=NOT A。

写成真值表的形式为：

表3 逻辑非的真值表
A	Y
0	1
1	0

逻辑非的符号形式为：

或

逻辑非运算的电路图为：

使用Digtial软件进行绘图如下所示：

需要说明的是，继电器这里初始状态下要选择闭合继电器：

运行电路可以看到：

当A为0时，Y的输出为1。

当A输入为1时：

当输入1时，此时继电器处于打开状态，此时Y的输出为0。

设计电路的时候，可以直接利用软件分析的方式对于结果进行比较，使用Digital软件中最上面的一行的分析栏下面的分析键（或者直接使用F9键）可以出现相关电路的真值表（注意这里使用分析键之前每个输入输出必须有自己的标签，例如上面输入组件的标签分别为A，输出的组件为Y），可以看到：

符合逻辑非运算的结果。

将其逻辑非的文件保存到lib的文件架中：

或者直接使用软件中的逻辑非组件：

2 由基本门电路组成的其他门电路

与、或、非三种电路一般称为基础门电路，而其他门电路可以用这三种门电路来组合。

2.1 异或

如果有两个操作数A和B条件相同（都满足或者都不满足），那么结果为假，如果操作数A和B条件不同，那么结果为真。可以写成为：

$Y=A\bigoplus B$

或者写成Y=A'.B+A.B'。

真值表的形式为：

表4 逻辑异或的真值表
A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

当A和B的值不相同时（即一个为1另一个为0时），结果为真，当A和B的值相同时（A和B的值同时为0或者同时为1），结果为假。

逻辑异或的符号形式为：

或

直接使用Digital软件画其电路图得：

该电路的真值表如下所示：

将其异或电路图文件保存到lib文件夹中得：

2.2. 同或

如果有两个操作数A和B条件相同（都满足或者都不满足），那么结果为真，如果两个操作数A和B条件不同，那么结果为假。可以写成：

$Y=A\bigodot B$

或者写成Y=AB+A'B'或者Y=(A+B')(A'+B)。

真值表的形式为：

表5 逻辑同或的真值表
A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

当A和B的值相同时（即均为1或者均为0时），那么结果Y为1；如果A和B的值不相同（即一个为0，一个为1时），那么结果Y为0。

逻辑同或的符号为：

或

需要说明的是，同或的电路图有两种画法，一种方法是AB+A'B'的电路接法，另一种是(A+B')(A'+B)的电路接法。

首先是AB+A'B‘电路的接法：

真值表为：

同时也可以绘制另一种形式Y=(A+B')(A'+B)。

分析这个电路的真值表可得：

通过真值表的比较可以看到结果同或的结果相同，因此此电路图正确。将其电路图文件保存在lib文件夹中得:

2.3 与非

如果两个操作数A和B，首先进行与操作，再取非操作，最终得到与非操作。可以写成：

$Y=(A.B)'$

同时也可以写成Y=A’+B‘。

真值表的形式为：

表6 逻辑与非真值表
A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

逻辑与非的符号形式为：

或

使用Digital软件画相关电路图如下所示：

当A和B输入均为1时，此时Y的输出才为0：

或者连接成Y=A'+B'的形式：

此电路的真值表如下图所示：

将文件进行保存到lib文件夹如下所示：

或者直接在Digital软件中直接使用与非的组件：

2.4 或非

对于两个操作数A和B，首先进行逻辑或操作，再取逻辑非操作，就是或非。

可以写成：

$Y=(A+B)'$

也可以写成：Y=A‘B'。

真值表的形式为：

表7 逻辑或非的真值表
A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

逻辑或非得的符号形式为：

或

利用Digital软件画或非的电路图如下所示：

当A和B其中一个为1，Y的输出为0：

另一种画法就是画一个Y=A’B'的电路图，如下所示：

电路图的真值表为：

通过比较真值表的结果，符合或非的输出结果。

将文件保存在lib文件夹中：

或者直接使用Digital软件中或非组件：