【UE5 C++】判断两点连线是否穿过球体

前言

方法一

原理

代码

测试

结果

方法二

原理

一、检查连线与球体的相交情况

二、检查距离与球体半径的关系

三、检查连线与球体的相交

代码

前言

通过数学原理判断空间中任意两点的连线是否穿过球体，再通过射线检测检验算法的正确性。

方法一

原理

（1）设球体球心的坐标为 $O(C_{x},C_{y},C_{z})$ ，半径为r；

（2）设线段 $AB$ 中A点的坐标为 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ ，B点的坐标为 $B(x_{2},y_{2},z_{2})$

（3）计算 $\underset{OA}{\rightarrow}$ 、 $\underset{OB}{\rightarrow}$ 、 $\underset{AB}{\rightarrow}$

（4）计算点 $O$ 到线段 $AB$ 的最短距离 $d$

$d=\frac{|\underset{OA}{\rightarrow}\times \underset{AB}{\rightarrow}|}{|\underset{AB}{\rightarrow}|}$

(5) 如果 $d\leq r$ ，则线段 $AB$ 穿过球体；如果 $d> r$ ，则线段 $AB$ 不穿过球体。

代码

定义一个函数“IsCrossSphere”来判断线段 $AB$ 是否穿过球体，函数需要传入点A、B的坐标以及球心坐标和球体半径。

再定义一个结构体作为函数返回值

函数“IsCrossSphere”的实现如下

头文件：

// Fill out your copyright notice in the Description page of Project Settings.

#pragma once

#include "CoreMinimal.h"
#include "GameFramework/Actor.h"
#include "LineIsCrossSphere.generated.h"

USTRUCT(BlueprintType)
struct FStruct_Result_IsLineCrossSphere
{
	GENERATED_BODY();
public:
	UPROPERTY(BlueprintReadWrite)
	float distanceOfLineAndSphereCenter;
	UPROPERTY(BlueprintReadWrite)
	bool isCrossSphere;
};

UCLASS()
class STUDY_API ALineIsCrossSphere : public AActor
{
	GENERATED_BODY()
	
public:	
	// Sets default values for this actor's properties
	ALineIsCrossSphere();

protected:
	// Called when the game starts or when spawned
	virtual void BeginPlay() override;

	UFUNCTION(BlueprintCallable)
	FStruct_Result_IsLineCrossSphere IsCrossSphere(FVector pointA, FVector pointB, FVector sphereOrginPoint, float sphereRadius);   //计算线段AB到球心的距离并判断AB是否穿过球体

public:	
	// Called every frame
	virtual void Tick(float DeltaTime) override;

};

源文件：

// Fill out your copyright notice in the Description page of Project Settings.


#include "Test/LineIsCrossSphere.h"

// Sets default values
ALineIsCrossSphere::ALineIsCrossSphere()
{
 	// Set this actor to call Tick() every frame.  You can turn this off to improve performance if you don't need it.
	PrimaryActorTick.bCanEverTick = true;

}

// Called when the game starts or when spawned
void ALineIsCrossSphere::BeginPlay()
{
	Super::BeginPlay();
	
}

FStruct_Result_IsLineCrossSphere ALineIsCrossSphere::IsCrossSphere(FVector pointA, FVector pointB, FVector sphereOrginPoint, float sphereRadius)
{
	bool isCrossSphere;

	FVector OA = pointA - sphereOrginPoint;
	FVector OB = pointB - sphereOrginPoint;
	FVector AB = OB - OA;
	FVector n = OA.Cross(AB);
	float D = n.Size() / AB.Size();

	if (D > sphereRadius)
	{
		isCrossSphere =  false;
	}
	else
	{
		isCrossSphere =  true;
	}

	FStruct_Result_IsLineCrossSphere result;
	result.isCrossSphere = isCrossSphere;
	result.distanceOfLineAndSphereCenter = D;
	return result;
}

// Called every frame
void ALineIsCrossSphere::Tick(float DeltaTime)
{
	Super::Tick(DeltaTime);

}

测试

在Tick中每帧去发射射线检测并调用函数 “IsCrossSphere”，通过观察射线碰撞结果以及函数 “IsCrossSphere”的打印是否相等来判断算法是否有误。（这里设置球体半径固定为50，球体坐标为(0,0,0)）

结果

可以看到不论是线段在球体表面，穿过球体，还是在球体外，函数 “IsCrossSphere”与射线检测的结果都是一致的。

方法二

原理

一、检查连线与球体的相交情况

使用距离公式计算点 $A$ 到球体中心 $O$ 的距离 $d_{A}$ ，以及点 $B$ 到地球中心 $O$ 的距离 $d_{B}$ ，设点 $A$ 为 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ ，点 $B$ 为 $B(x_{2},y_{2},z_{2})$ 。

$d_{A}=\sqrt{(x_{1}-C_{x})^{2}+(y_{1}-C_{y})^{2}+(z_{1}-C_{z})^{2}}$

$d_{B}=\sqrt{(x_{2}-C_{x})^{2}+(y_{2}-C_{y})^{2}+(z_{2}-C_{z})^{2}}$

二、检查距离与球体半径的关系

如果 $d_{A}\leq R$ 且 $d_{B}\leq R$ ，则两点都在球体内部，它们的连线显然穿过球体；

如果 $d_{A}> R$ 且 $d_{B}> R$ ，则两点都在球体外部，需要进一步检查它们的连线是否与球体相交。

三、检查连线与球体的相交

当两点都在球体外部时，我们可以计算直线 AB 的参数方程，并尝试找到与球体表面（即半径为 R 的球体）的交点。将直线的参数方程代入球体的方程，并解出一个关于参数的二次方程。如果这个二次方程有实数解，并且解对应的参数值在 0 和 1 之间（对于参数化的线段 AB），则连线与球体相交。

（1）表示直线参数方程

对于线段 $AB$ 的参数方程可以表示为

$r(t)=(1-t)A+tB$

$r(t)=((1-t)x_{1}+tx_{2},(1-t)y_{1}+ty_{2},(1-t)z_{1}+tz_{2})$

其中 $t$ 是参数， $0\leqslant t\leqslant 1$ 表示线段 $AB$ 上的点

（2）表示球体方程

设球体球心的坐标为 $O(C_{x},C_{y},C_{z})$ ，半径为 $R$ ，则球体方程可表示为

$(x-C_{x})^{2}+(y-C_{y})^{2}+(z-C_{z})^{2}=R^{2}$

（3）将直线的参数方程代入球体的方程中，得到一个关于 $t$ 的二次方程

展开并整理后，可得到一个标准的二次方程形式： $at^{2}+bt+c=0$

（4）使用求根公式可以得到二次方程的解

（5）如果二次方程没有实数解（ $\Delta < 0$ ），则直线不与球体相交；

如果二次方程有一个实数解，并且解在 0≤t≤1 的范围内，则线段 AB 与球体相交于一点；

如果二次方程有两个不同的实数解，并且至少有一个解在 0≤t≤1 的范围内，则直线段 AB 与球体相交于两点（即线段穿过球体）。

代码

bool ALineIsCrossSphere::IsCrossSphere2(FVector pointA, FVector pointB, FVector sphereOrginPoint, float sphereRadius)
{
	float D_A = sqrt(pow(pointA.X - sphereOrginPoint.X, 2) + pow(pointA.Y - sphereOrginPoint.Y, 2) + pow(pointA.Z - sphereOrginPoint.Z, 2));  //计算点A到球体中心的距离
	float D_B = sqrt(pow(pointB.X - sphereOrginPoint.X, 2) + pow(pointB.Y - sphereOrginPoint.Y, 2) + pow(pointB.Z - sphereOrginPoint.Z, 2));  //计算点B到球体中心的距离
	if (D_A <= sphereRadius && D_B <= sphereRadius)  //两点都在球体内部，它们的连线显然穿过球体
	{
		return true;
	}
	else if (D_A > sphereRadius && D_B > sphereRadius)  //两点都在球体外部
	{
		//将直线的参数方程代入球体的方程，得到标准二次方程的a、b、c
		float a = pow(pointB.X - pointA.X, 2) + pow(pointB.Y - pointA.Y, 2) + pow(pointB.Z - pointA.Z, 2);
		float b = 2 * ((pointB.X - pointA.X) * (pointA.X - sphereOrginPoint.X) + (pointB.Y - pointA.Y) * (pointA.Y - sphereOrginPoint.Y) + (pointB.Z - pointA.Z) * (pointA.Z - sphereOrginPoint.Z));
		float c = pow(pointA.X - sphereOrginPoint.X, 2) + pow(pointA.Y - sphereOrginPoint.Y, 2) + pow(pointA.Z - sphereOrginPoint.Z, 2) - pow(sphereRadius, 2);
		float discriminant = b * b - 4 * a * c;
		if (discriminant > 0.0f)  //△>0
		{
			// 有两个不同的实数解
			float t1 = (-1*b + sqrt(pow(b, 2) - 4 * a * c)) / (2 * a);
			float t2 = (-1*b - sqrt(pow(b, 2) - 4 * a * c)) / (2 * a);

			if ((0 <= t1 && t1 <= 1) || (0 <= t2 && t2 <= 1))
			{
				return true;  //至少有一个解在0~1，则线段 AB 与球体相交于两点
			}
			else 
			{
				return false;  //直线与球体在无限远处相交，即线段没有穿过球体
			}
		}
		else if (discriminant == 0.0f)  //△=0
		{
			// 有两个相等的实数解（或说是一个重根）
			float t = (-1 * b) / (2 * a);
			if (t >= 0 && t <= 1)
			{
				return true;  //直线段 AB 与球体相交于一点
			}
			else
			{
				return false; //虽然直线在无限延伸的情况下会与球体相交，但交点并不在连接点A和点B的线段上，因此没有相交
			}
		}
		else  //△<0
		{
			// 没有实数解,直线不与球体相交
			return false;
		}
	}
	else  //一点在球体内部，另一点在球体外部，则它们的连线一定穿过球体
	{
		return true;
	}
}

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