概率论中交并集的公式

文章目录

对于相容事件且独立事件

连续掷骰子2次
A: 掷一次骰子点数为1
B: 掷一次骰子点数为2

1. 同时出现的概率,即 P ( A ∩ B ) P(A\cap B) P(AB):

按照公式计算: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(B)
P ( A ) = 1 6 P(A) = \frac16 P(A)=61
P ( B ) = 1 6 P(B) = \frac16 P(B)=61
P ( A ∩ B ) = 1 36 P(A\cap B) = \frac1{36} P(AB)=361

2. 出现任意一个的概率,即 P ( A ∪ B ) P(A\cup B) P(AB):

法1: 按照公式计算: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(A\cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)
P ( A ∪ B ) = 1 3 − 1 36 = 11 36 P(A\cup B) = \frac13 - \frac 1{36} = \frac {11}{36} P(AB)=31361=3611
法2: 对于独立事件:任意一个出现的概率即为对立事件同时出现的概率
即: P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A c ) × P ( B c ) P(A\cup B) = 1- P(A^c)\times P(B^c) P(AB)=1P(Ac)×P(Bc)
故而: P ( A ∪ B ) = 1 − 5 6 × 5 6 = 11 36 P(A\cup B) =1 - \frac56 \times \frac 56 = \frac {11}{36} P(AB)=165×65=3611

对于相容事件且依赖事件

掷骰子1次
A.骰子点数为偶数
B.骰子点数大于等于4. 即456的可能

1. 同时出现的概率,即 P ( A ∩ B ) P(A\cap B) P(AB):

P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) 或 P ( A ∣ B ) ⋅ P ( B ) P(A\cap B)= P(A) \cdot P(B∣A)或 P(A∣B) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(BA)P(AB)P(B)
P ( A ∣ B ) P(A∣B) P(AB):在事件 B 已经发生的条件下,事件 A 发生的条件概率。
P ( B ∣ A ) P(B∣A) P(BA):在事件 A 已经发生的条件下,事件 B 发生的条件概率。

P ( A ) P(A) P(A)即为偶数的可能,即{1,2,3,4,5,6}中取到{2,4,6},即 P ( A ) = 1 2 P(A)= \frac 12 P(A)=21
P ( B ∣ A ) P(B|A) P(BA)即在A已经发生的条件下,发生B的概率,即{2,4,6}中取到{4,6},即 P ( B ∣ A ) = 2 3 P(B|A)=\frac23 P(BA)=32
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) = 1 2 × 2 3 = 1 3 P(A\cap B)=P(A)P(B∣A)=\frac12\times \frac 23 =\frac 13 P(AB)=P(A)P(BA)=21×32=31
可见:

特殊的,对于独立事件

若事件 ( A ) 和 ( B ) 独立,意味着 ( A ) 的发生不影响 ( B ) 的发生(反之亦然)。在这种情况下,条件概率满足:
P ( B ∣ A ) = P ( B ) 且 P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(B \mid A) = P(B) \quad \text{且} \quad P(A \mid B) = P(A) P(BA)=P(B)P(AB)=P(A)
于是:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(B)

2. 出现任意一个的概率,即 P ( A ∪ B ) P(A\cup B) P(AB):

即{1,2,3,4,5,6}中取到{2,4,5,6}的概率
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 1 2 + 1 2 − 1 3 = 2 3 P(A\cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B)=\frac12+\frac12-\frac13=\frac23 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=21+2131=32

总结公式

交集(Intersection)公式总结

一般情况

两个事件 A A A B B B 的交集 P ( A ∩ B ) P(A \cap B) P(AB) 的公式为:

P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) = P ( B ) ⋅ P ( A ∣ B ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(AB)

特殊情况
  1. 独立事件
    如果 A A A B B B 是独立事件,则:
    P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(B)

并集(Union)公式总结

一般情况

两个事件 A A A B B B 的并集 P ( A ∪ B ) P(A \cup B) P(AB) 的公式为:

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

特殊情况
  1. 互斥事件
    如果 A A A B B B 是互斥事件(即它们不可能同时发生),则:
    P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) P(AB)=P(A)+P(B)

  2. 独立事件
    如果 A A A B B B 是独立事件,则交集的概率为 P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)P(B),因此:
    P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)

  3. 包含关系
    如果事件 A A A 完全包含于事件 B B B(即 A ⊆ B A \subseteq B AB),则:
    P ( A ∪ B ) = P ( B ) P(A \cup B) = P(B) P(AB)=P(B)

  4. 相等事件
    如果 A = B A = B A=B,则:
    P ( A ∪ B ) = P ( A ) = P ( B ) P(A \cup B) = P(A) = P(B) P(AB)=P(A)=P(B)

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:/a/923381.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系我们进行投诉反馈qq邮箱809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

Java多线程八股(三)一>多线程环境使用哈希表和ArrayList

目录: 一.多线程环境使用ArrayList: 二.多线程使用哈希表: 一.多线程环境使用ArrayList: 首先我们知道,Vector, Stack, HashTable, 是线程安全的(但是不建议用), 其他的集合类不是线程安全的 ,下面是…

TCP IP协议和网络安全

传输层的两个协议: 可靠传输 TCP 分段传输 建立对话(消耗系统资源) 丢失重传netstat -n 不可靠传输 UDP 一个数据包就能表达完整的意思或屏幕广播 应用层协议(默认端口): httpTCP80 网页 ftpTCP21验证用户身…

Webpack前端工程化进阶系列(二) —— HMR热模块更新(图文+代码)

前言 之前更新过一篇Webpack文章:Webpack入门只看这一篇就够了(图文代码),没想到颇受好评,很快就阅读量就破万了hhh,应读者私信的要求,决定继续更新Webpack进阶系列的文章! 进入今天的主题 —— HMR 热模块替换(HotM…

第三讲 架构详解:“隐语”可信隐私计算开源框架

目录 隐语架构 隐语架构拆解 产品层 算法层 计算层 资源层 互联互通 跨域管控 本文主要是记录参加隐语开源社区推出的第四期隐私计算实训营学习到的相关内容。 隐语架构 隐语架构拆解 产品层 产品定位: 通过可视化产品,降低终端用户的体验和演…

C# 结构体

文章目录 前言一、结构体的定义与基本使用(一)定义结构体(二)结构体的使用示例 二、C# 结构的特点(一)丰富的成员类型(二)构造函数相关限制与特性(三)继承方面…

Easyexcel(7-自定义样式)

相关文章链接 Easyexcel(1-注解使用)Easyexcel(2-文件读取)Easyexcel(3-文件导出)Easyexcel(4-模板文件)Easyexcel(5-自定义列宽)Easyexcel(6-单…

【c语言】文件操作详解 - 从打开到关闭

文章目录 1. 为什么使用文件?2. 什么是文件?3. 如何标识文件?4. 二进制文件和文本文件?5. 文件的打开和关闭5.1 流和标准流5.1.1 流5.1.2 标准流 5.2 文件指针5.3 文件的打开和关闭 6. 文件的读写顺序6.1 顺序读写函数6.2 对比一组…

2024-11-23 队列及顺序存储实现

2.3.1 队列及顺序存储实现 与堆栈类似,队列也是一种受限制的线性表。 其实我们在日常生活中经常会碰到排队。我们来观察一下,什么叫做队列,里面有两个最基本的操作,一个叫做入队,一个叫做出队。也就是你能加入这个队…

卷积神经网络学习记录

目录 神经网络基础定义: 基本组成部分 工作流程 卷积层(卷积定义)【CONV】: 卷积层(Convolutional Layer) 特征提取:卷积层的主要作用是通过卷积核(或滤波器)运算提…

数据结构初阶---复杂度

一、数据结构前言 1.数据结构与算法 数据结构(Data Structure):是计算机组织、存储数据的一种方式,指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。 算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程,他取一个或一组的值为输入&am…

二叉树的层次遍历

二叉树的层次遍历 题目 https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-level-order-traversal/ 描述 给你一个二叉树,请你返回其按 层次遍历 得到的节点值(即逐层地,从做到右访问所有节点) 代码实现 通过两个数组来交替打印 class Solution(object):def levelOrder

网络安全中的数据科学如何重新定义安全实践?

组织每天处理大量数据,这些数据由各个团队和部门管理。这使得全面了解潜在威胁变得非常困难,常常导致疏忽。以前,公司依靠 FUD 方法(恐惧、不确定性和怀疑)来识别潜在攻击。然而,将数据科学集成到网络安全中…

【Linux系统】—— 基本指令(四)

【Linux系统】—— 基本指令(三) 1「find」指令2 「grep」指令2.1 初识「grep」指令2.2 「grep」指令 选项 3 打包压缩基本知识4 「zip / unzip」指令5「tar」命令6 文件互传6.1 Linux 与 Windows 互传6.1.1 Linux向Windows传输6.1.2 Windows向Linux传输…

将django+vue项目发布部署到服务器

1.部署django后端服务 部署架构 1.1 下载依赖插件 pip3.8 freeze > requirements.txt1.2 安装依赖插件 pip3 install -r requirements.txt1.3 安装mysql数据库 apt install mysql-server初始化数据库 CREATE USER admin% IDENTIFIED WITH mysql_native_password BY 123…

网络层协议IP

对于网络层我们直接通过IP协议来了解其内容 一.IP协议 首先我们先来了解几个概念: 主机:配有IP地址,但是不进行路由控制的设备 路由器:配有IP地址,同时进行路由控制的设备 节点:主机和路由器的统称 所以现在…

AIGC-----AIGC在虚拟现实中的应用前景

AIGC在虚拟现实中的应用前景 引言 随着人工智能生成内容(AIGC)的快速发展,虚拟现实(VR)技术的应用也迎来了新的契机。AIGC与VR的结合为创造沉浸式体验带来了全新的可能性,这种组合不仅极大地降低了VR内容的…

如何利用 Puppeteer 的 Evaluate 函数操作网页数据

介绍 在现代的爬虫技术中,Puppeteer 因其强大的功能和灵活性而备受青睐。Puppeteer 是一个用于控制 Chromium 或 Chrome 浏览器的 Node.js 库,提供了丰富的 API 接口,能够帮助开发者高效地处理动态网页数据。本文将重点讲解 Puppeteer 的 ev…

【运维】 使用 shell 脚本实现类似 jumpserver 效果实现远程登录linux 服务器

实现效果 通过序号选择登录: 配置证书登录 配置证书登录可以免去每次都输入密码的麻烦。详见另一篇博文: 【ssh】使用秘钥对(公钥/私钥)登录linux主机以及原理介绍 自动登录脚本 直接复用以下脚本即可,在 server…

sqlmap学习,打靶sqli-labs.(1-19)

前言:用于学习sqlmap的简单使用,使用sqli-labs靶场进行测试。 当然,在实战中,考虑的更多,例如如何隐藏自己(特征码),编码加解密、sqlmap抓包调试分析等... 不过那些都是后话,太遥远...基础NO.1!! 先贴上我…

A045-基于spring boot的个人博客系统的设计与实现

🙊作者简介:在校研究生,拥有计算机专业的研究生开发团队,分享技术代码帮助学生学习,独立完成自己的网站项目。 代码可以查看文章末尾⬇️联系方式获取,记得注明来意哦~🌹 赠送计算机毕业设计600…