基于 NCD 与优化函数结合的非线性优化 PID 控制

1. 引言

NCD（Normalized Coprime Factorization Distance）优化是一种用于非线性系统的先进控制方法。通过将 NCD 指标与优化算法结合，可以在动态调整控制参数的同时优化控制器性能。此方法特别适合非线性和复杂系统，解决传统 PID 控制在强耦合、非线性环境下的适应性不足问题。

2. 控制方法框架

2.1 基本思想

目标：
最小化系统的 NCD 指标，优化 PID 控制器性能。
核心思想：
利用优化算法（如梯度下降、遗传算法或粒子群算法）对 PID 参数 Kp,Ki,Kd进行实时调整，使得系统误差和扰动的影响最小化。

3. 系统框图

控制系统包括以下模块：

PID 控制器：提供初始控制信号。
非线性被控对象：复杂动态系统。
NCD 指标计算器：实时计算系统性能指标。
优化模块：基于优化算法调整 PID 参数。

5. C++ 实现

以下为基于 C++ 的优化 PID 控制代码示例。

5.1 PID 控制器

class PIDController {
public:
    double Kp, Ki, Kd; // PID 参数
    double Ts;         // 采样周期
    double integral, prevError; // 积分项和前次误差

    PIDController(double kp, double ki, double kd, double ts)
        : Kp(kp), Ki(ki), Kd(kd), Ts(ts), integral(0.0), prevError(0.0) {}

    double compute(double error) {
        integral += error * Ts;
        double derivative = (error - prevError) / Ts;
        prevError = error;
        return Kp * error + Ki * integral + Kd * derivative;
    }
};

5.2 NCD 指标计算

double computeNCD(double Tw, double Sw) {
    return sqrt(Tw * Tw + Sw * Sw);
}

5.3 优化算法（梯度下降

class Optimizer {
public:
    double learningRate;

    Optimizer(double lr) : learningRate(lr) {}

    void updateParameters(double& Kp, double& Ki, double& Kd,
                          double dJ_dKp, double dJ_dKi, double dJ_dKd) {
        Kp -= learningRate * dJ_dKp;
        Ki -= learningRate * dJ_dKi;
        Kd -= learningRate * dJ_dKd;
    }
};

5.4 主程序

int main() {
    // 初始化 PID 控制器和优化器
    double Ts = 0.01;
    PIDController pid(1.0, 0.5, 0.1, Ts);
    Optimizer optimizer(0.01);

    // 初始参数
    double Tw = 0.0, Sw = 0.0, e = 0.0; // 传递函数、灵敏度函数、误差
    double Kp = 1.0, Ki = 0.5, Kd = 0.1;

    for (int iter = 0; iter < 100; ++iter) {
        // 模拟系统响应，更新 Tw 和 Sw
        Tw = 1.0; // 示例值（需通过模型计算）
        Sw = 0.5; // 示例值（需通过模型计算）
        e = 0.1;  // 示例误差

        // 计算目标函数
        double J = computeNCD(Tw, Sw) + e * e;

        // 梯度计算（这里用伪梯度作为示例）
        double dJ_dKp = 0.01 * Kp; // 示例值
        double dJ_dKi = 0.01 * Ki; // 示例值
        double dJ_dKd = 0.01 * Kd; // 示例值

        // 更新 PID 参数
        optimizer.updateParameters(Kp, Ki, Kd, dJ_dKp, dJ_dKi, dJ_dKd);

        // 打印迭代信息
        std::cout << "Iter: " << iter << ", J: " << J
                  << ", Kp: " << Kp << ", Ki: " << Ki << ", Kd: " << Kd << std::endl;
    }

    return 0;
}