定义：

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

含义：从 x0 开始，尝试在满足线性等式 Aeq*x = beq 以及不等式 A*x ≤ b、 c(x) ≤ 0 和 ceq(x) = 0 的情况下寻找 fun 中所述的函数的最小值点 x。对 x 中的设计变量定义一组下界和上界，使解始终 lb ≤ x ≤ ub 范围内。

fun：目标函数、需要最小化的函数

x0：初值。x0 可以是标量、向量或矩阵。

A，b：线性不等式 A*x ≤ b的系数矩阵/系数。如果不存在不等式，则设置 A = [] 和 b = []。

Aeq，beq：线性等式Aeq*x = beq 的系数矩阵/系数。如果不存在等式，请设置 Aeq = [] 和 beq = []。

lb，ub：设计变量的下界和上界，使解始终在 lb ≤ x ≤ ub 范围内。如果 x(i) 无下界，请设置 lb(i) = -Inf，如果 x(i) 无上界，请设置 ub(i) = Inf。

nonlcon： 执行最小化时，满足 nonlcon 所定义的非线性不等式 c(x) 或等式 ceq(x)。fmincon 进行优化，以满足 c(x) ≤ 0 和 ceq(x) = 0。如果不存在边界，请设置 lb = [] 和/或 ub = []。如果没有非线性不等式或等式约束，请设置 nonlcon = []。

options：使用 options 所指定的优化选项执行最小化。使用 optimoptions 可设置这些选项。

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___)

同时返回：

• 描述 fmincon 的退出条件的值 exitflag
• 提供优化过程信息的结构体 output
• lambda - 结构体，其字段包含解 x 处的拉格朗日乘数。
• grad - fun 在解 x 处的梯度。
• hessian - fun 在解 x 处的黑塞矩阵。请参阅fmincon黑塞函数。

示例：

1、线性不等式约束

 目标函数：Rosenbrock函数的最小化，无约束解为（1，1），最小目标值为0

从点 [-1,2] 开始求最小值，约束为 x(1)+2x(2)≤1。以 A = [1,2] 和 b = 1 为条件，以 Ax <= b 形式表达此约束。（此约束意味着解不会在无约束解 (1,1) 处，因为在此点 x(1)+2x(2)=3>1）

p=1;
q=100;
%目标函数
fun = @(x)(p-x(1))^2 + q*(x(2)-x(1)^2)^2; %x为2维向量
%求最小值
x0 = [-1,2]; %初始值
A = [1,2]; % Ax <= b
b = 1;
x = fmincon(fun,x0,A,b) %局部最小值

求得：

x =

    0.5022    0.2489

2、线性不等式和等式约束

  目标函数：Rosenbrock函数的最小化，无约束解为（1，1），最小目标值为0

从点 [0.5,0] 开始求最小值，约束为 x(1)+2x(2)≤1 和 2x(1)+x(2)=1。

• 以 A = [1,2] 和 b = 1 为条件，以 A*x <= b 形式表达线性不等式约束。

• 以 Aeq = [2,1] 和 beq = 1 为条件，以 Aeq*x = beq 形式表达线性等式约束。

  p=1;
  q=100;
  %目标函数
  fun = @(x)(p-x(1))^2 + q*(x(2)-x(1)^2)^2; %x为2维向量
  %求最小值
  x0 = [-1,2]; %初始值
  A = [1,2]; % Ax <= b
  b = 1;
  Aeq=[2,1];
  beq=1;
  x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) %局部最小值

  x =

      0.4149    0.1701

3、具有边界约束的最小化

目标函数：f(x)=1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1))

约束：关注 x 为正值且满足 x(1)≤1 和 x(2)≤2 的区域。

%目标函数
fun = @(x)1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1));
%约束
lb = [0,0];
ub = [1,2];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
%初值
x0 = (lb + ub)/2;
%求解
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x =

    1.0000    2.0000

使用另一个初始点会得到不同的解。

x0 = x0/5;
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x =

   1.0e-06 *

    0.4000    0.4000

4、非线性约束（nonlcon）

在边界约束下求罗森布罗克函数在圆内最小的点，

同时在以 [1/3,1/3] 为圆心、半径为 1/3 的圆内寻找。将以下代码复制到您的 MATLAB® 路径上名为 circlecon.m 的文件中。

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

lb = [0,0.2];
ub = [0.5,0.8];

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];


x0 = [1/4,1/4];

nonlcon = @circlecon;
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)


%满足 nonlcon 所定义的非线性不等式 c(x) 或等式 ceq(x)
function [c,ceq] = circlecon(x)
c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2;
ceq = [];

5、非默认选项（optimoptions）

在单位圆盘 ∣∣x∣∣^2≤1 上求罗森布罗克函数的最小值

设置选项以在迭代期间查看输出信息并使用不同算法。

%保存为 unitdisk.m

function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];

求解：要观察 fmincon 求解过程，请将 Display 选项设置为 'iter'。此外，尝试 'sqp' 算法，该算法有时比默认的 'interior-point' 算法更快或更准确。

options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
nonlcon = @unitdisk;
x0 = [0,0];
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x =

    0.7864    0.6177

6、使用梯度

将梯度计算加入目标函数中，以实现更快或更可靠的计算。

将梯度计算作为条件化输出包含在目标函数文件中。

目标函数是罗森布罗克函数，

将此代码保存为 MATLAB® 路径上名为 rosenbrockwithgrad.m 的文件。

%建立函数文件
function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x)
% Calculate objective f
f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

if nargout > 1 % gradient required
    g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1));
        200*(x(2)-x(1)^2)];
end

求解：

%创建使用目标函数梯度的选项。

options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true);

%为问题创建其他输入。然后调用 fmincon。

fun = @rosenbrockwithgrad; %将梯度计算加入目标函数中
x0 = [-1,2];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [-2,-2];
ub = [2,2];
nonlcon = [];
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

7、使用问题结构体 （problem）

options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');
problem.options = options;
problem.solver = 'fmincon';
problem.objective = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
problem.x0 = [0,0];

problem.nonlcon = @unitdisk;

x = fmincon(problem)


%% unitdisk 函数
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
end

8、获得解处的目标函数值

fun = @(x)1+x(1)./(1+x(2)) - 3*x(1).*x(2) + x(2).*(1+x(1));
lb = [0,0];
ub = [1,2];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
x0 = (lb + ub)/2;
%获得解处的目标函数值fval
[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
%获取所有输出
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

 官方文档：fmincon - 寻找约束非线性多变量函数的最小值 - MATLAB- MathWorks 中国