动态规划--[自用]代码随想录刷题记录【JAVA】

动态规划–代码随想录刷题记录【JAVA】

刷题小白先挖个坑！感兴趣欢迎关注收藏！
文章目的：

提取出精简的解题思路
进一步补充不清楚的逻辑分析
代码部分会多加注释
方便本人复盘

注：以下绝大多数思路来自代码随想录网站！

文章目录

动态规划--代码随想录刷题记录【JAVA】
- 41. 最长递增子序列
- 674. 最长连续递增序列
- 718.最长重复子数组
- 1143.最长公共子序列
- 最大子序和
- 判断子序列
- 不同的子序列
- 两个字符串的删除操作
- 编辑距离 Todo
- 回文子串 Todo
- 最长回文子序列Todo
- 309.最佳买卖股票时机含冷冻期

41. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4

dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

状态转移方程

if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。所以默认习惯从前向后遍历。

为何要进行 dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1) 的比较？

这个比较的目的就是要决定，是否可以通过把 nums[i] 加入到 nums[j] 结尾的递增子序列中，从而扩展这个子序列的长度。
前提条件：nums[i] > nums[j]，这意味着 nums[i] 可以接在 nums[j] 后面，形成一个新的递增子序列。
因此，dp[i] 要么保持原值（没有发现能加上 nums[i] 的递增子序列），要么更新为新的最大值 dp[j] + 1。

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length <= 1) return nums.length;  //记得可以提前返回！
        int[] dp = new int[nums.length];
        int res = 1;
        Arrays.fill(dp, 1); //数组全部初始化为1
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

674. 最长连续递增序列

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        if (nums.length <= 1) return nums.length;
        int[] dp = new int[nums.length]; 
        Arrays.fill(dp,1);
        int result = 0;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {  //注意 i从1开始 不然数组会越界
            if(nums[i]>nums[i-1]) dp[i]=dp[i-1]+1;
            result=Math.max(result,dp[i]);
        }
        return result;
    }

}

718.最长重复子数组

给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

输入： A: [1,2,3,2,1] B: [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A的子串，和以下标j - 1为结尾的B的子串，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。
其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

确定递推公式

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

dp[1][1] = dp[0][0] +1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int result = 0;
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
        
        for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                    result = Math.max(result, dp[i][j]); 
                }
            }
        }
        
        return result;
    }
}

1143.最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “ace”，它的长度为 3。

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：长度为i - 1为结束下标的的字符串text1与长度为 j - 1为结束下标的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

确定递推公式

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

dp数组如何初始化

所以dp[i][0] = dp[0][j]=0

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
   
        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // 先对dp数组做初始化操作
        for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {
            char char1 = text1.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
                char char2 = text2.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) { // 开始列出状态转移方程
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }
}

最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]

确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：
dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和nums[i]
所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

 public static int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        int res = nums[0]; // dp初始化
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            res = res > dp[i] ? res : dp[i];
        }
        return res;
    }

判断子序列

给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

示例 1：
输入：s = “abc”, t = “ahbgdc” 输出：true
示例 2：
输入：s = “axc”, t = “ahbgdc” 输出：false

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]

确定递推公式

if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1
if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1]

结果判断

如果dp[s.size()][t.size()] 与字符串s的长度相同说明：s与t的最长相同子序列就是s，那么s 就是 t 的子序列

class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        int length1 = s.length(); int length2 = t.length();
        int[][] dp = new int[length1+1][length2+1];
        for(int i = 1; i <= length1; i++){
            for(int j = 1; j <= length2; j++){
                if(s.charAt(i-1) == t.charAt(j-1)){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        if(dp[length1][length2] == length1){
            return true;
        }else{
            return false;
        }
    }
}

不同的子序列

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

输入:s=“rabbbit”，t="rabbit 输出:3

两个字符串的删除操作

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]

确定递推公式

在这一类问题中，我们需要分析两种情况

1.s[i - 1] 与 t[j - 1] 相等
（1）使用 s[i-1] 来匹配 t[j-1]：这意味着我们已经决定了将 s[i-1] 和 t[j-1] 配对上了，因此剩下的问题是：在 s[0…i-2] 中找到 t[0…j-2] 的子序列匹配，答案是 dp[i-1][j-1]。
（2）不使用 s[i-1] 来匹配 t[j-1]：此时，我们相当于跳过了 s[i-1]，只考虑 s[0…i-2] 和 t[0…j-1] 的匹配，答案是 dp[i-1][j]
比如说： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag或者s[0]s[1]s[3]组成的bag都可以

2.s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
我们不能使用 s[i-1] 来匹配 t[j-1]，因此问题转化为在 s[0…i-2] 中找到 t[0…j-1] 的匹配

数组初始化

dp[i][0]表示什么呢？
dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。
那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。
再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。
dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int[][] dp = new int[s.length() + 1][t.length() + 1];
        for (int i = 0; i < s.length() + 1; i++) {
            dp[i][0] = 1;  //只需要初始化为1的部分
        }
        
        for (int i = 1; i < s.length() + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < t.length() + 1; j++) {
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        
        return dp[s.length()][t.length()];
    }
}

编辑距离 Todo

回文子串 Todo

最长回文子序列Todo

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出

状态解读

状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
状态三：今天卖出股票
状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

疑惑

问：「今天卖出股票」我是没有单独列出一个状态的归类为「不持有股票的状态」，而本题为什么要单独列出「今天卖出股票」一个状态呢？

答：因为本题我们有冷冻期，而冷冻期的前一天，只能是「今天卖出股票」状态，如果是「不持有股票状态」那么就很模糊，因为不一定是卖出股票的操作。

最后的结果

取状态二，状态三，和状态四的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        if (n == 0) return 0;

        // 初始化dp数组
        int[][] dp = new int[n][4];
        dp[0][0] = -prices[0]; // 持有股票

       

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            /*
                状态一： dp[i][0]  持有股票：
                1.维持状态，继续持有 dp[i - 1][0]
                2.前一天是冷冻期， dp[i - 1][3] - prices[i]
                3.前一天是保持卖出股票的状态 dp[i - 1][1] - prices[i]
            */
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], Math.max(dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i])); 
            /*
                状态二： dp[i][1]  保持卖出股票：
                1.保持前一天的状态
                2.前一天是冷冻期
            */
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]); 
              /*
                状态三： dp[i][2]  今天卖出股票：
                1.保持前一天持有股票
             */

            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]; 
            /*
                状态四： dp[i][3]  冷冻期：
                1.前一天卖出了股票
             */
             dp[i][3] = dp[i - 1][2]; 
        }

        
        return Math.max(dp[n - 1][3], Math.max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]));
    }
}