求曲面 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0的第一、二基本形式。
解 :
设点
P
=
(
x
,
y
,
z
)
P= ( x, y, z)
P=(x,y,z) 在 曲 面
S
:
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
S: F( x, y, z) = 0
S:F(x,y,z)=0 上 . 由
∇
F
(
x
,
y
,
z
)
≠
0
\nabla F( x, y, z) \neq \mathbf{0}
∇F(x,y,z)=0, 不 妨 设 在 点
P
,
F
z
≠
0.
P, F_{z}\neq 0.
P,Fz=0. 则 在
P
P
P 的 一 个 邻 域
U
U
U 内
,
F
z
≠
0
, F_{z}\neq 0
,Fz=0 且
S
S
S 有 显 式 表 达
z
=
f
(
x
,
y
)
.
z= f( x, y) .
z=f(x,y). 从 而 ,在
U
U
U 内
,
S
, S
,S 有 参 数 表 达 式
r
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
,
f
(
x
,
y
)
)
.
\mathbf{r} ( x, y) = ( x, y, f( x, y) ) .
r(x,y)=(x,y,f(x,y)).
由于 f x = − F x F z , f y = − F y F z f_x=-\frac{F_x}{F_z},f_y=-\frac{F_y}{F_z} fx=−FzFx,fy=−FzFy
则在 U U U内，曲面 S S S的第一基本形式
I ( x , y ) = ( 1 + f x 2 ) d x 2 + 2 f x f y d x d y + ( 1 + f y 2 ) d y 2 = ( 1 + F x 2 F z 2 ) d x 2 + 2 F x F y F z 2 d x d y + ( 1 + F y 2 F z 2 ) d y 2 . \mathrm{I}(x,y)=(1+f_x^2)dx^2+2f_xf_ydxdy+(1+f_y^2)dy^2=(1+\frac{F_x^2}{F_z^2})dx^2+2\frac{F_xF_y}{F_z^2}dxdy+(1+\frac{F_y^2}{F_z^2})dy^2. I(x,y)=(1+fx2)dx2+2fxfydxdy+(1+fy2)dy2=(1+Fz2Fx2)dx2+2Fz2FxFydxdy+(1+Fz2Fy2)dy2.
由于
f x x = − F z 2 F x x + 2 F x F z F x z − F x 2 F z z F z 3 , f x y = − F z 2 F x y + F y F z F x z + F x F z F y z − F x F y F z z F z 3 , f y y = − F z 2 F y y + 2 F y F z F y z − F y 2 F z z F z 3 , f_{xx}=\frac{-F_z^2F_{xx}+2F_xF_zF_{xz}-F_x^2F_{zz}}{F_z^3},\\f_{xy}=\frac{-F_z^2F_{xy}+F_yF_zF_{xz}+F_xF_zF_{yz}-F_xF_yF_{zz}}{F_z^3},\\f_{yy}=\frac{-F_z^2F_{yy}+2F_yF_zF_{yz}-F_y^2F_{zz}}{F_z^3}, fxx=Fz3−Fz2Fxx+2FxFzFxz−Fx2Fzz,fxy=Fz3−Fz2Fxy+FyFzFxz+FxFzFyz−FxFyFzz,fyy=Fz3−Fz2Fyy+2FyFzFyz−Fy2Fzz,
曲面 S S S在 U U U内的第二基本形式
I I ( x , y ) = 1 1 + f x 2 + f y 2 ( f x x d x 2 + 2 f x y d x d y + f y y d y 2 ) \mathrm{II}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}(f_{xx}dx^2+2f_{xy}dxdy+f_{yy}dy^2) II(x,y)=1+fx2+fy21(fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2)
= s g n ( F z ) F z 2 F x 2 + F y 2 + F z 2 [ ( − F z 2 F x x + 2 F x F z F x z − F x 2 F z z ) d x 2 + 2 ( − F z 2 F x y + F y F z F x z + F x F z F y z − F x F y F z z ) d x d y + ( − F z 2 F y y + 2 F y F z F y z − F y 2 F z z ) d y 2 ] . =\frac{\mathrm{sgn}(F_{z})}{F_{z}^{2}\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}[(-F_{z}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{z}F_{xz}-F_{x}^{2}F_{zz})dx^{2}+2(-F_{z}^{2}F_{xy}+F_{y}F_{z}F_{xz}+F_{x}F_{z}F_{yz}-F_{x}F_{y}F_{zz})dxdy+(-F_{z}^{2}F_{yy}+2F_{y}F_{z}F_{yz}-F_{y}^{2}F_{zz})dy^{2}]. =Fz2Fx2+Fy2+Fz2sgn(Fz)[(−Fz2Fxx+2FxFzFxz−Fx2Fzz)dx2+2(−Fz2Fxy+FyFzFxz+FxFzFyz−FxFyFzz)dxdy+(−Fz2Fyy+2FyFzFyz−Fy2Fzz)dy2].
