【数据结构】插入排序——直接插入排序和希尔排序

直接插入排序和希尔排序

一、直接插入排序
二、直接插入排序的弊端
三、希尔排序
- （1）对插入排序的联想
- （2）希尔排序的思路
四、直接插入排序和希尔排序效率对比
- - 1>随机生成10000个数
  - 2>我们随机生成100000个数
  - 3>我们随机生成1000000个数
  - 4>希尔排序的时间复杂度

一、直接插入排序

我们要如何理解直接插入排序呢？

在这里插入图片描述

假设tmp之前的数都被我们拍好了，tmp就是我们要插入的数
让tmp之前的数与tmp进行对比，若比tmp大就将他们向后移动
在这里插入图片描述
当遇到比tmp小的数就将tmp插入到该数的后面
这样能保证tmp所在的位置：
前面是比tmp小的数
后面是比tmp大的数
当走完循环就可以完成排序

动图演示：
在这里插入图片描述

//插入排序
void InsertSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		//保存已经拍好序的前 i 个数的下标
		int end = i;

		//保存要插入的数，一会儿会被覆盖
		int tmp = a[i + 1];

		//单次循环
		while (end >= 0 && a[end] > tmp)
		{
			//若前一个数比 tmp 大则将该数填到后面，t--
			a[end + 1] = a[end--];
		}
		a[end + 1] = tmp;
	}
}

在这里插入图片描述
我们看到我们这里的循环条件是 i < n - 1
因为当 i 为倒数第二个数时
插入的数为倒数第一个数

代码运行：

二、直接插入排序的弊端

直接插入排序有什么弊端呢?

我们想如果我们要排一个升序：
在这里插入图片描述

1>
数组中是升序排列的数：
那么我们每次进入循环都不需要额外进行移动
也就是不用进入循环，移到次数为 0
那么它的时间复杂度是O(N)

在这里插入图片描述

2>
数组中是降序排列的数：
那么我们每次进入循环都要进行移动
并且假设我们要将第 i 个数插入，移动次数为 i - 1
那么它的时间复杂度是O(N ^ 2)

所以直接插入排序的效率是很不稳定的

三、希尔排序

（1）对插入排序的联想

但是插入排序真的不可取吗？
插入排序在最好的情况时间复杂度时O(N)
但是插入排序的效率受到数组原顺序的影响很大
假如要拍一个升序，而最大的数在第一位
那么最大的这个数要移动的次数很多

那么我们想，如果我们可以让插入排序的时间复杂度接近O(N)
那它的效率一定非常高
所以我们想到：
如果我们可以让原来要移动很多次数的数移动的次数变少，就可以提高它的效率

（2）希尔排序的思路

如果我们想让原来要移动次数很多的数，它的移动次数变少
那么我们就要改变它的移动步子大小
我们把步子的这个大小叫gap
我们假设gap = 3
在这里插入图片描述
进行一次插入

将 end = i + gap 位置的数插入，使得和 i = 0 位置的数进行交换

最终效果：
在这里插入图片描述
我们发现最大的数原先需要 9 次才能移动到最后
但现在仅仅需要三次就到最后了
这样就使我们的排序效率提高
那我们下一次只要从 i = 1 的位置开始
一直到 i < gap
这样就把整个数组进行了初次排序

我们先来分析一次步子大小为 gap 的排序
下面是一次插入的代码：

//每次跳的步子大小
int gap;
for (int j = 0; j < gap; j++)
{
	//单次排序
	for (int i = j; i < n - gap; i += gap)
	{
		//保存拍好序的前面最后数的下标
		int end = i;

		//保存要插入数的值
		int tmp = a[i + gap];

		//循环
		while (end >= 0 && a[end] > tmp)
		{
			a[end + gap] = a[end];
			end -= gap;
		}
		a[end + gap] = tmp;
	}
}

先看内层：
从单次排序开始
每次将 end = i + gap 处的数插入
与 i = 0 进行比较
随后再将 i += gap
相当于将 end = i + gap + gap 处的数插入

那么在什么时候截止呢？
这时我们要往外层看
我们又进行了一层循环
我们设 j = 0 就是第一次开始插入的位置
为了将整个数组都进行该处理
我们每次将 j++
当 j < gap 时就将 0 到 gap - 1 前的数都处理了
也将整个数组都进行了一次 gap 步的排序
如果不理解可以将上面图中 gap = 3 的情况带入理解

那么我们再反过来看 i 的停止条件
以 gap 等于 3 为例
当 i = 1 或者 i = 2 时
再后面 end = i + gap时，会超出范围
在这里插入图片描述

所以当 i < n - gap 时，就可以处理完全部的数

接下来看下面的图：

在这里插入图片描述

有没有发现什么，是不是当 gap = 1 时两边的代码就一样了

所以我们接下来就要考虑 gap 的取值了
经过人们的研究，人们发现 gap 每次取 1 / 3 时效率最高
所以就有了下面的代码：

//希尔排序
void ShellSort(int* a, int n)
{
	int gap = n - 1;
	while (gap != 1)
	{
		//每次跳的步子大小
		gap = gap / 3 + 1;
		for (int j = 0; j < gap; j++)
		{
			//单次排序
			for (int i = j; i < n - gap; i += gap)
			{
				//保存拍好序的前面最后数的下标
				int end = i;

				//保存要插入数的值
				int tmp = a[i + gap];

				//循环
				while (end >= 0 && a[end] > tmp)
				{
					a[end + gap] = a[end];
					end -= gap;
				}
				a[end + gap] = tmp;
			}
		}
	}
}