立体视觉的核心技术：视差计算与图像校正详解
在立体视觉中，通过双目相机（即左右两台相机）的不同视角捕获的图像，结合几何关系，我们可以推算出场景中物体的深度。本文将深入讲解如何基于视差（disparity）和相似三角形的几何关系推导深度 z z z，并阐述图像校正（Image Rectification）的作用及其在视差匹配中的意义。
一、立体成像中的几何关系
在双目立体视觉系统中，左相机和右相机之间存在一个固定的水平距离，称为基线（baseline），记作
B
B
B。两个相机的焦距（focal length）为
f
f
f。
图中展示了双目立体视觉系统的结构和关键参数，帮助我们理解视差与深度的关系。
1. 基本变量定义
如图所示，双目视觉系统由左相机（光心 O l O_l Ol）和右相机（光心 O r O_r Or）构成，两者之间的距离为基线 B B B。设待测物体在三维空间中的真实坐标为 P ( X , Y , Z ) P(X, Y, Z) P(X,Y,Z)，其在左、右相机图像平面上的投影点分别为 p l ( x l , y l ) p_l(x_l, y_l) pl(xl,yl) 和 p r ( x r , y r ) p_r(x_r, y_r) pr(xr,yr)。
2. 焦距与图像平面
每个相机都有一个图像平面，其焦距为 f f f。图像平面是相机感知三维世界的二维空间，它距离相机光心的垂直距离为 f f f。在此图像平面上，左、右相机的成像点分别为 p l p_l pl 和 p r p_r pr，其横坐标分别为 x l x_l xl 和 x r x_r xr。
3. 视差的定义
视差（Disparity）表示物体在左右图像平面上的水平位置差异，用
d
x
dx
dx 表示，定义为：
d
x
=
x
l
−
x
r
dx = x_l - x_r
dx=xl−xr
视差的存在是因为左右相机拍摄同一物体的角度不同。视差越大，意味着物体越靠近相机；反之，视差越小，物体离相机越远。
4. 深度 Z Z Z 的推导
我们可以利用相似三角形关系推导出物体到相机的深度 Z Z Z。根据图中的三角形关系，以下是推导深度 Z Z Z 的过程。
-
对于左相机成像的三角形，可以得到：
X Z = x l f \frac{X}{Z} = \frac{x_l}{f} ZX=fxl -
对于右相机成像的三角形，可以得到：
X − B Z = x r f \frac{X - B}{Z} = \frac{x_r}{f} ZX−B=fxr
通过消去 X X X，得到 Z Z Z 的公式如下：
-
由左相机的成像关系得出：
X = x l ⋅ Z f X = \frac{x_l \cdot Z}{f} X=fxl⋅Z -
将 X X X 代入右相机的成像关系中，得到：
x l ⋅ Z f − B Z = x r f \frac{\frac{x_l \cdot Z}{f} - B}{Z} = \frac{x_r}{f} Zfxl⋅Z−B=fxr -
整理得出：
x l ⋅ Z − B ⋅ f = x r ⋅ Z x_l \cdot Z - B \cdot f = x_r \cdot Z xl⋅Z−B⋅f=xr⋅Z -
将 Z Z Z 项合并，可以得出最终深度 Z Z Z 的表达式：
Z = f B x l − x r = f B d x Z = f \frac{B }{x_l - x_r} = f \frac{B }{dx} Z=fxl−xrB=fdxB
5. 深度 Z Z Z 与视差 d x dx dx 的关系
最终，深度
Z
Z
Z 可以表示为基线
B
B
B、焦距
f
f
f 和视差
d
x
dx
dx 的函数：
Z
=
f
B
d
x
Z =f \frac{B }{dx}
Z=fdxB
该公式表明，深度 Z Z Z 与视差 d x dx dx 成反比关系。具体来说：
- 当视差 d x dx dx 增大时，深度 Z Z Z 会减小。这表示物体距离相机更近，因为左右相机看到的物体位置差异显著。
- 当视差 d x dx dx 减小时，深度 Z Z Z 会增大。这表示物体距离相机更远，因为左右相机看到的物体位置几乎相同。
这种关系很直观：当物体靠近相机时，由于角度差异，左右相机的成像位置会有较大差异，形成较大的视差；而当物体较远时，左右相机成像位置差异较小，视差随之减小。
二、图像校正：视差匹配的预处理
在实际的双目视觉系统中，左右相机并不总是能够完美对齐。由于安装误差、镜头失真或相机的角度偏差，左右图像可能存在垂直方向或旋转上的不一致。这会导致对应点的极线（epipolar line）并不水平。
如图所示，左右图像平面中的极线可能是倾斜的，这种不对齐给视差匹配带来了额外的复杂性。为了解决这一问题，我们通常需要对图像进行图像校正（Image Rectification），即通过一种变换使得左右图像的极线变得水平平行，使得同一空间点在左右图像中的投影点位于同一条水平线上。这种操作能够简化视差匹配过程，并提高深度估计的精度。
1. 图像校正的作用
图像校正的核心目标是对输入图像进行透视变换，确保左右相机的极线在校正后的图像中保持水平。校正后的图像具有以下特点：
- 极线水平对齐：校正后的极线保持水平，从而简化视差计算。
- 简化匹配：同一个空间点的左右成像点处于同一水平线上，有利于更高效、精确地进行视差匹配。
在图中可以看到，原始左右图像的极线（红色虚线）可能并不水平；校正之后，这些极线被强制水平对齐，从而满足视差计算的要求。
2. 图像校正的数学描述
为了实现图像校正，构造一个变换矩阵 H H H 是关键步骤。通过这个矩阵，我们可以对原始图像进行透视变换，将左右图像中的点映射到校正后的平面上，从而使得左右相机的极线水平对齐。
图像校正过程可以表示为：
校正图像 = 原始图像 × H \text{校正图像} = \text{原始图像} \times H 校正图像=原始图像×H
其中 H H H 是校正变换矩阵，其求解依赖于相机的内参和外参，即相机的内部光学特性（焦距、光心）和相机相对于其他相机或世界坐标系的空间位置关系（旋转和平移）。
内参矩阵 K K K
相机的内参描述了相机的光学特性，包括焦距和光心位置。内参矩阵 K K K 通常表示为：
K = [ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ] K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} K= fx000fy0cxcy1
其中 f x f_x fx 和 f y f_y fy 是相机在 x x x 和 y y y 方向的焦距， c x c_x cx 和 c y c_y cy 是光心的位置。内参矩阵 K K K 可以通过相机标定技术得到。
外参矩阵 [ R ∣ t ] [R|t] [R∣t]
外参定义了相机的空间位置和方向，包括旋转矩阵 R R R 和平移向量 t t t。其中， R R R 是一个 3 × 3 3 \times 3 3×3 矩阵，描述了相机坐标系相对于世界坐标系的旋转； t t t 是一个 3 × 1 3 \times 1 3×1 向量，描述了相机的平移。外参矩阵组合表示为：
外参矩阵 = [ R t 0 1 ] \text{外参矩阵} = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} 外参矩阵=[R0t1]
通过内参和外参的组合，我们可以构造出用于校正的变换矩阵 H H H。
构造校正矩阵 H H H
校正矩阵 H H H 的构造如下：
H = K ⋅ R rect ⋅ K − 1 H = K \cdot R_{\text{rect}} \cdot K^{-1} H=K⋅Rrect⋅K−1
其中：
- K K K 为内参矩阵；
- R rect R_{\text{rect}} Rrect 是通过外参计算得到的旋转矩阵，用于将原始图像坐标旋转到极线水平对齐的校正坐标系下；
- K − 1 K^{-1} K−1 是内参矩阵的逆矩阵，用于将校正结果映射回像素坐标系。
通过这种变换，校正后的图像点 p rect \mathbf{p}_{\text{rect}} prect 可以由原始图像点 p \mathbf{p} p 映射得到：
p rect = H ⋅ p \mathbf{p}_{\text{rect}} = H \cdot \mathbf{p} prect=H⋅p
3. 校正后的视差匹配
完成图像校正后，左右图像的极线平行且水平对齐。这样一来，视差匹配可以直接在水平方向上进行，这带来了以下好处：
- 提高视差计算的准确性：由于极线对齐，视差直接反映物体深度的信息，减少了因角度偏差带来的误差。
- 降低计算复杂度：无需在垂直方向上搜索匹配点，从而简化了视差匹配的计算过程。
最终，通过图像校正，双目相机的视差匹配过程变得更加简单有效，为深度估计提供了精确的基础。这一过程在自动驾驶、三维重建和机器人视觉系统中尤为重要，因为它显著提升了双目视觉系统的鲁棒性和计算效率。
三、总结
立体视觉中的视差与深度成反比关系。通过双目相机拍摄的图像，我们可以利用视差来推算物体的深度。而图像校正操作则确保了左右图像的极线平行，使得视差计算更为简单和高效。这一过程在自动驾驶、3D 建模等领域中有着广泛的应用。
