考试要求
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
2、掌握变量可分离的微分方程及一-阶线性微分方程的解法,会解齐次微分方程.
3、会用降阶法解下列形式的微分方程:
y
(
n
)
=
f
(
x
)
,
y
′
′
=
f
(
x
,
y
′
)
y^{(n)}=f(x),y^{''}=f(x,y^{'})
y(n)=f(x),y′′=f(x,y′)和
y
′
′
=
f
(
y
,
y
′
)
y^{''}=f(y,y^{'})
y′′=f(y,y′)
4、理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理.
5、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
6、会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
7、会用微分方程解决一些简单的应用问题
一阶微分方程
概念
含有未知函数、未知函数的导函数与自变量之间关系的方程,叫做微分方程;
未知函数导函数的最高阶数称为该微分方程的阶;
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。
方程
y
(
n
)
=
f
(
x
,
y
,
y
′
,
⋯
,
y
n
−
1
)
y^{(n)}=f(x,y,y^{'},\cdots,y^{n-1})
y(n)=f(x,y,y′,⋯,yn−1)或
F
(
x
,
y
,
,
y
′
,
⋯
,
y
n
)
=
0
F(x,y,,y^{'},\cdots,y^{n})=0
F(x,y,,y′,⋯,yn)=0称为
n
n
n阶微分方程,其中
x
,
y
,
y
′
,
⋯
,
y
n
−
1
x,y,y^{'},\cdots,y^{n-1}
x,y,y′,⋯,yn−1可以没有,但必须含有
y
(
n
)
,
n
=
1
y^{(n)},n=1
y(n),n=1时称一阶微分方程
设
y
=
φ
(
x
)
y=\varphi(x)
y=φ(x)在区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)上连续且有直到
n
n
n 阶的导数,使
φ
(
n
)
(
x
)
≡
f
[
x
,
φ
(
x
)
,
φ
′
(
x
)
,
⋯
,
φ
(
n
−
1
)
(
x
)
]
\varphi^{(n)(x)}\equiv f[x,\varphi(x),\varphi^{'}(x),\cdots,\varphi^{(n-1)}(x)]
φ(n)(x)≡f[x,φ(x),φ′(x),⋯,φ(n−1)(x)]或
F
[
x
,
φ
(
x
)
,
φ
′
(
x
)
,
⋯
,
φ
n
(
x
)
]
≡
0
F[x,\varphi(x),\varphi^{'}(x),\cdots,\varphi^{n}(x)] \equiv0
F[x,φ(x),φ′(x),⋯,φn(x)]≡0,则称
y
=
φ
(
x
)
y=\varphi(x)
y=φ(x)为该微分方程在区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)上的一个解。
如果含有
n
n
n个独立的任意常数的函数
y
=
φ
(
x
,
C
1
,
⋯
,
C
n
)
,
a
<
x
<
b
y=\varphi(x,C_1,\cdots,C_n),\quad a<x<b
y=φ(x,C1,⋯,Cn),a<x<b是
n
n
n阶微分方程的解,则称它为该微分方程的通解,不含任意常数的解称为特解。条件
y
(
x
0
)
=
y
0
,
y
′
(
x
0
)
=
y
0
′
,
⋯
,
y
(
n
−
1
)
(
x
0
)
=
y
0
(
n
−
1
)
y(x_0)=y_0,y^{'}(x_0)=y^{'}_0,\cdots,y^{(n-1)}(x_0)=y^{(n-1)}_0
y(x0)=y0,y′(x0)=y0′,⋯,y(n−1)(x0)=y0(n−1)称为
n
n
n阶微分方程的初始条件(也称初值条件),其中
y
0
,
y
0
′
,
⋯
,
y
0
(
n
−
1
)
y_0,y^{'}_0,\cdots,y^{(n-1)}_0
y0,y0′,⋯,y0(n−1)为
n
n
n个给定的数。
一般,由初始条件确定通解中的任意常数就得到相应的一个特解。
练习1
:判断
y
=
C
−
x
2
2
x
y=\frac{C-x^2}{2x}
y=2xC−x2是否是常微分方程
y
′
=
−
x
+
y
x
y^{'}=-\frac{x+y}{x}
y′=−xx+y的解,若是解,是通解还是特解?
解
: y = C − x 2 2 x ⇒ y ′ = − 2 x . 2 x − ( C − x 2 ) 2 4 x 2 = − x 2 + C 2 x 2 y ′ = − x + y x 带入 y = C − x 2 2 x ⇒ y ′ = − x 2 + C 2 x 2 故: y = C − x 2 2 x 是常微分方程 y ′ = − x + y x 的解 由含有任意常数 C ,是通解 y=\frac{C-x^2}{2x}\Rightarrow y^{'}=\frac{-2x.2x-(C-x^2)2}{4x^2}=-\frac{x^2+C}{2x^2}\\ \quad \\ y^{'}=-\frac{x+y}{x}带入y=\frac{C-x^2}{2x}\Rightarrow y^{'}=-\frac{x^2+C}{2x^2} \\ \quad \\ 故:y=\frac{C-x^2}{2x}是常微分方程y^{'}=-\frac{x+y}{x}的解 \\ \quad \\ 由含有任意常数C,是通解 y=2xC−x2⇒y′=4x2−2x.2x−(C−x2)2=−2x2x2+Cy′=−xx+y带入y=2xC−x2⇒y′=−2x2x2+C故:y=2xC−x2是常微分方程y′=−xx+y的解由含有任意常数C,是通解
几种特殊类型的一阶微分方程及其解法
1、变量可分离的微分方程
微分方程
d
y
d
x
=
h
(
x
)
g
(
y
)
\frac{dy}{dx}=h(x)g(y)
dxdy=h(x)g(y)称变量可分离的方程,分离变量
d
y
g
(
y
)
=
h
(
x
)
d
x
\frac{dy}{g(y)}=h(x)dx
g(y)dy=h(x)dx两边积分便得通解
∫
d
y
g
(
y
)
=
∫
h
(
x
)
d
x
+
C
\int \frac{dy}{g(y)}=\int h(x)dx+C
∫g(y)dy=∫h(x)dx+C
练习1
:求初值问题的解
{
y
′
=
−
x
y
x
+
1
y
(
0
)
=
1
\begin{cases}y^{'}=-\frac{xy}{x+1} \\ \quad \\ y(0)=1\end{cases}
⎩
⎨
⎧y′=−x+1xyy(0)=1
解
: d y d x = − x x + 1 y ⇒ d y y = − x x + 1 d x ∫ d y y = ∫ − x x + 1 d x + C = ∫ − 1 + 1 x + 1 d x + C ln ∣ y ∣ = ln ∣ x + 1 ∣ − x + C 1 y = e ln ∣ x + 1 ∣ − x + 1 = e ln ∣ x + 1 ∣ . e − x . e C 1 令 e C 1 = C ,故原方程通解: y = C ( x + 1 ) e − x 由 y ( 0 ) = 1 解得 C = 1 , 故原方程特解: y = ( x + 1 ) e − x \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{x+1}y\Rightarrow \frac{dy}{y}=-\frac{x}{x+1} dx\\ \quad \\ \int\frac{dy}{y}=\int -\frac{x}{x+1}dx+C =\int -1+\frac{1}{x+1}dx+C\\ \quad \\ \ln|y|=\ln|x+1|-x+C_1 \\ \quad \\ y=e^{\ln|x+1|-x+1}=e^{\ln|x+1|}.e^{-x}.e^{C_1}\\ \quad \\ 令e^{C_1}=C,故原方程通解:y=C(x+1)e^{-x}\\ \quad \\ 由y(0)=1解得C=1,故原方程特解:y=(x+1)e^{-x} dxdy=−x+1xy⇒ydy=−x+1xdx∫ydy=∫−x+1xdx+C=∫−1+x+11dx+Cln∣y∣=ln∣x+1∣−x+C1y=eln∣x+1∣−x+1=eln∣x+1∣.e−x.eC1令eC1=C,故原方程通解:y=C(x+1)e−x由y(0)=1解得C=1,故原方程特解:y=(x+1)e−x
2、齐次微分方程
微分方程
d
y
d
x
=
f
(
x
,
y
)
,
(1)
\frac{dy}{dx}=f(x,y),\tag 1
dxdy=f(x,y),(1)中的
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y),若命
y
=
u
x
y=ux
y=ux,当
x
≠
0
x\ne 0
x=0时,可将它化为
f
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
u
x
)
=
φ
(
u
)
(
与
x
无关
)
f(x,y)=f(x,ux)=\varphi(u)(与x无关)
f(x,y)=f(x,ux)=φ(u)(与x无关)
则称(1)为齐次微分方程。其解法时,命
y
=
u
x
y=ux
y=ux以心的未知函数
u
u
u代替未知函数
y
y
y,得
u
+
x
d
u
d
x
=
φ
(
u
)
x
d
u
d
x
=
φ
(
u
)
−
u
u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u)\\ \quad \\x\frac{du}{dx}=\varphi(u)-u
u+xdxdu=φ(u)xdxdu=φ(u)−u分离变量,积分得
∫
d
u
φ
(
u
)
−
u
=
∫
d
x
x
+
C
=
ln
∣
x
∣
+
C
\int \frac{du}{\varphi(u)-u}=\int \frac{dx}{x}+C=\ln |x|+C
∫φ(u)−udu=∫xdx+C=ln∣x∣+C
设
ψ
(
u
)
=
∫
d
u
φ
(
u
)
−
u
\psi(u)=\int \frac{du}{\varphi(u)-u}
ψ(u)=∫φ(u)−udu,再命
u
=
y
x
u=\frac{y}{x}
u=xy 代回,得通解
ψ
(
y
x
)
=
ln
∣
x
∣
+
C
\psi(\frac{y}{x})=\ln |x|+C
ψ(xy)=ln∣x∣+C
练习1
:求解初值问题
{
y
′
=
y
x
+
tan
y
x
y
(
1
)
=
π
2
\begin{cases}y^{'}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x} \\ \quad \\ y(1)=\frac{\pi}{2}\end{cases}
⎩
⎨
⎧y′=xy+tanxyy(1)=2π
解
: 令 u = y x ,则 y = u x , y ′ = u + u ′ x u + tan u = u + u ′ x ⇒ d u tan u = 1 x d x 两边取积分得: ∫ d u tan u d u = ln ∣ x ∣ + C 1 ln ∣ sin u ∣ = ln ∣ x ∣ + C 1 ⇒ sin u = ± e C 1 ∣ x ∣ 令 C = e C 1 ,则 sin u = C x , C ∈ R 原方程得通解: y = x arcsin ( C x ) 由 y ( 1 ) = π 2 ,解得 C = 1 ,即原方程特解为: y = x arcsin ( x ) 令u=\frac{y}{x},则y=ux,y^{'}=u+u^{'}x\\ \quad \\ u+\tan u=u+u^{'}x\Rightarrow \frac{du}{\tan u}=\frac{1}{x}dx\\ \quad \\ 两边取积分得:\int \frac{du}{\tan u} du=\ln|x|+C_1\\ \quad \\ \ln |\sin u|=\ln |x|+C_1 \Rightarrow \sin u =\pm e^{C_1}|x| \\ \quad \\ 令C=e^{C_1},则\sin u =Cx,C\in R\\ \quad \\ 原方程得通解:y=x\arcsin (Cx)\\ \quad \\ 由y(1)=\frac{\pi}{2},解得C=1,即原方程特解为:y=x\arcsin (x) 令u=xy,则y=ux,y′=u+u′xu+tanu=u+u′x⇒tanudu=x1dx两边取积分得:∫tanududu=ln∣x∣+C1ln∣sinu∣=ln∣x∣+C1⇒sinu=±eC1∣x∣令C=eC1,则sinu=Cx,C∈R原方程得通解:y=xarcsin(Cx)由y(1)=2π,解得C=1,即原方程特解为:y=xarcsin(x)
3、一阶线性微分方程
微分方程
y
′
+
p
(
x
)
y
=
q
(
x
)
y^{'}+p(x)y=q(x)
y′+p(x)y=q(x) 称为一阶线性微分方程,它的通解是
y
=
e
−
∫
p
(
x
)
d
x
[
∫
q
(
x
)
e
∫
p
(
x
)
d
x
+
C
]
y=e^{-\int p(x) dx}\bigg[ \int q(x)e^{\int p(x) dx}+C\bigg]
y=e−∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx+C]
上式中得两个
∫
p
(
x
)
d
x
\int p(x)dx
∫p(x)dx表示同一个原函数,其中不必添加任意常数
练习1
:求一阶常微分方程
y
′
=
2
x
y
+
2
x
e
x
2
y^{'}=2xy+2xe^{x^2}
y′=2xy+2xex2的通解
解
: y ′ = 2 x y + 2 x e x 2 ⇒ y ′ − 2 x y = 2 x e x 2 令: p ( x ) = − 2 x , q ( x ) = 2 x e x 2 y = e − ∫ p ( x ) d x [ ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + C ] y = e − ∫ − 2 x d x [ ∫ 2 x e x 2 e ∫ − 2 x d x d x + C ] y = e x 2 [ ∫ 2 x e x 2 e − x 2 d x + C ] y = e x 2 ( x 2 + C ) ,其中 C ∈ R y^{'}=2xy+2xe^{x^2} \Rightarrow y^{'}-2xy=2xe^{x^2}\\ \quad \\ 令:p(x)=-2x,q(x)=2xe^{x^2}\\ \quad \\ y=e^{-\int p(x)dx}\bigg[ \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\bigg]\\ \quad \\ y=e^{-\int -2x dx}\bigg[ \int 2xe^{x^2}e^{\int -2x dx}dx+C\bigg]\\ \quad \\ y=e^{x^2}\bigg[ \int 2xe^{x^2}e^{-x^2}dx+C\bigg]\\ \quad \\ y=e^{x^2}(x^2+C),其中C\in R y′=2xy+2xex2⇒y′−2xy=2xex2令:p(x)=−2x,q(x)=2xex2y=e−∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+C]y=e−∫−2xdx[∫2xex2e∫−2xdxdx+C]y=ex2[∫2xex2e−x2dx+C]y=ex2(x2+C),其中C∈R
练习2
:伯努利方程
d
y
d
x
=
y
x
+
y
3
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y^3}
dxdy=x+y3y的通解为?
解
: d y d x = y x + y 3 取倒得 d x d y = x + y 3 y = 1 x y + y 2 x ′ − 1 y x = y 2 令 p ( y ) = − 1 y , q ( x ) = y 2 由一阶线性微分方程通解: x ′ = e ∫ − p ( y ) d y [ ∫ q ( y ) e ∫ p ( y ) d y d y + C ] x ′ = y [ ∫ y d y + C ] x ′ = y ( y 2 2 + C ) , C ∈ R \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y^3}取倒得\frac{dx}{dy}=\frac{x+y^3}{y}=\frac{1}{x}y+y^2\\ \quad \\ x^{'}-\frac{1}{y}x=y^2令p(y)=-\frac{1}{y},q(x)=y^2\\ \quad \\ 由一阶线性微分方程通解:x^{'}=e^{\int -p(y)dy}\bigg[\int q(y)e^{\int p(y)dy}dy+C\bigg]\\ \quad \\ x^{'}=y\bigg[\int y dy+C\bigg]\\ \quad \\ x^{'}=y(\frac{y^2}{2}+C),C\in R dxdy=x+y3y取倒得dydx=yx+y3=x1y+y2x′−y1x=y2令p(y)=−y1,q(x)=y2由一阶线性微分方程通解:x′=e∫−p(y)dy[∫q(y)e∫p(y)dydy+C]x′=y[∫ydy+C]x′=y(2y2+C),C∈R
4、伯努利方程
方程
y
′
+
p
(
x
)
y
=
q
(
x
)
y
n
(
其中
n
≠
0
,
n
≠
1
)
y^{'}+p(x)y=q(x)y^n(其中n\ne0,n\ne 1)
y′+p(x)y=q(x)yn(其中n=0,n=1)称为伯努利方程,原式化为
y
−
n
d
y
d
x
+
p
(
x
)
y
1
−
n
=
q
(
x
)
y^{-n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=q(x)
y−ndxdy+p(x)y1−n=q(x),命
z
=
y
1
−
n
z=y^{1-n}
z=y1−n得
1
1
−
n
d
z
d
x
+
p
(
x
)
z
=
q
(
x
)
\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)
1−n1dxdz+p(x)z=q(x)
代入线性微分方程得通解,然后再代回y,便得原微分方程得通解:
令
P
(
x
)
=
(
1
−
n
)
p
(
x
)
,
Q
(
x
)
=
(
1
−
n
)
q
(
x
)
z
=
e
∫
−
P
(
x
)
d
x
[
∫
Q
(
x
)
e
∫
Q
(
x
)
d
x
d
x
+
C
]
z
=
y
1
−
n
⇒
y
=
z
1
1
−
n
令P(x)=(1-n)p(x),Q(x)=(1-n)q(x)\\ \quad \\ z=e^{\int -P(x)dx}\bigg[ \int Q(x)e^{\int Q(x)dx}dx+C \bigg]\\ \quad \\ z=y^{1-n}\Rightarrow y=z^{\frac{1}{1-n}}
令P(x)=(1−n)p(x),Q(x)=(1−n)q(x)z=e∫−P(x)dx[∫Q(x)e∫Q(x)dxdx+C]z=y1−n⇒y=z1−n1
练习1
:求一阶常微分方程
y
′
−
y
+
2
x
y
=
0
y^{'}-y+2\frac{x}{y}=0
y′−y+2yx=0得通解?
解
: y ′ − y + 2 x y = 0 ⇒ y y ′ − y 2 = − 2 x 令 p ( x ) = − 1 , q ( x ) = − 2 x , z = y 2 d z d x = 2 y d y d x ⇒ 1 2 d z d x + p ( x ) d z = q ( x ) z = e ∫ − 2 p ( x ) d x [ ∫ 2 q ( x ) e ∫ 2 p ( x ) d x d x + C ] z = e 2 x [ ∫ − 4 x e − 2 x d x + C ] z = e 2 x ( ∫ 2 x d e 2 x + C ) = e 2 x ( 2 x e − 2 x + ∫ e − 2 x d ( − 2 x ) + C ) 由 z = 2 x + 1 + C e 2 x 故原方程得通解: y 2 = C e 2 x + 2 x + 1 , C ∈ R y^{'}-y+2\frac{x}{y}=0\Rightarrow yy^{'}-y^2=-2x\\ \quad \\ 令p(x)=-1,q(x)=-2x,z=y^2 \\ \quad \\ \frac{dz}{dx}=2y\frac{dy}{dx}\Rightarrow \frac{1}{2}\frac{dz}{dx}+p(x)dz=q(x)\\ \quad \\ z=e^{\int -2p(x)dx}\bigg[\int 2q(x)e^{\int 2p(x)dx}dx+C\bigg]\\ \quad \\ z=e^{2x}\bigg[\int -4xe^{-2x}dx+C\bigg]\\ \quad \\ \\ \quad \\ z=e^{2x}(\int 2xde^{2x}+C)=e^{2x}(2xe^{-2x}+\int e^{-2x}d(-2x)+C)\\ \quad \\ 由z=2x+1+Ce^{2x}\\ \quad \\ 故原方程得通解:y^2=Ce^{2x}+2x+1,C\in R y′−y+2yx=0⇒yy′−y2=−2x令p(x)=−1,q(x)=−2x,z=y2dxdz=2ydxdy⇒21dxdz+p(x)dz=q(x)z=e∫−2p(x)dx[∫2q(x)e∫2p(x)dxdx+C]z=e2x[∫−4xe−2xdx+C]z=e2x(∫2xde2x+C)=e2x(2xe−2x+∫e−2xd(−2x)+C)由z=2x+1+Ce2x故原方程得通解:y2=Ce2x+2x+1,C∈R
5、全微分方程
若存在二元函数
u
(
x
,
y
)
u(x,y)
u(x,y),使
d
u
(
x
,
y
)
=
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
则称微分方程
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
0
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0为全微分方程,它的通解为
u
(
x
,
y
)
=
C
u(x,y)=C
u(x,y)=C
由曲线积分中有关的定理知,有下述定理:
设D为平面上的一个单连通区域,
P
(
x
,
y
)
与
Q
(
x
,
y
)
P(x,y)与Q(x,y)
P(x,y)与Q(x,y)在D上连续且有连续的一阶偏导数,则全微分方程的充要条件是
∂
P
∂
y
=
∂
Q
∂
x
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
∂y∂P=∂x∂Q
练习1
:求
α
\alpha
α使
(
x
4
+
4
x
y
α
)
d
x
+
(
6
x
α
−
1
y
2
−
5
y
4
)
d
y
=
0
(x^4+4xy^\alpha)dx+(6x^{\alpha - 1}y^2-5y^4)dy=0
(x4+4xyα)dx+(6xα−1y2−5y4)dy=0为全微分方程,并求该全微分方程的解
解
: 由全微分充要条件可知: ∂ ∂ x ( 6 x α − 1 y 2 − 5 y 4 ) = ∂ ∂ y ( x 4 + 4 x y α ) 6 ( α − 1 ) x α − 2 y 2 = 4 α x y α − 1 ⇒ α = 3 当 α = 3 时,原方程为全微分方程,即存在二元函数 u ( x , y ) ,使得: d u ( x , y ) = ( x 4 + 4 x y 3 ) d x + ( 6 x 2 y 2 − 5 y 4 ) d y ∂ u ∂ x = x 4 + 4 x y 3 u ( x , y ) = x 5 5 + 2 x 2 y 3 + C ( y ) ∂ u ∂ y = 6 x 2 y 2 − 5 y 4 由 ∂ ∂ y ( x 5 5 + 2 x 2 y 3 + C ( y ) ) = 6 x 2 y 2 − 5 y 4 C ′ ( y ) = − 5 y 4 ⇒ C ( y ) = − y 5 + C 故全微分方程的解为: u ( x , y ) = x 5 5 + 2 x 2 y 3 − y 5 + C 由全微分充要条件可知:\frac{\partial }{\partial x}(6x^{\alpha - 1}y^2-5y^4)=\frac{\partial }{\partial y}(x^4+4xy^\alpha)\\ \quad \\ 6(\alpha -1)x^{\alpha -2}y^2=4\alpha xy^{\alpha -1}\Rightarrow \alpha=3\\ \quad \\ 当\alpha=3时,原方程为全微分方程,即存在二元函数u(x,y) ,使得: \\ \quad \\ du(x,y)=(x^4+4xy^3)dx+(6x^2y^2-5y^4)dy\\ \quad \\ \frac{\partial u}{\partial x}=x^4+4xy^3\\ \quad \\ u(x,y)=\frac{x^5}{5}+2x^2y^3+C(y)\\ \quad \\ \frac{\partial u}{\partial y}=6x^2y^2-5y^4\\ \quad \\ 由\frac{\partial}{\partial y}(\frac{x^5}{5}+2x^2y^3+C(y))=6x^2y^2-5y^4 \\ \quad \\ C^{'}(y)=-5y^4\Rightarrow C(y)=-y^5+C\\ \quad \\ 故全微分方程的解为:u(x,y)=\frac{x^5}{5}+2x^2y^3-y^5+C 由全微分充要条件可知:∂x∂(6xα−1y2−5y4)=∂y∂(x4+4xyα)6(α−1)xα−2y2=4αxyα−1⇒α=3当α=3时,原方程为全微分方程,即存在二元函数u(x,y),使得:du(x,y)=(x4+4xy3)dx+(6x2y2−5y4)dy∂x∂u=x4+4xy3u(x,y)=5x5+2x2y3+C(y)∂y∂u=6x2y2−5y4由∂y∂(5x5+2x2y3+C(y))=6x2y2−5y4C′(y)=−5y4⇒C(y)=−y5+C故全微分方程的解为:u(x,y)=5x5+2x2y3−y5+C