数据结构与算法：贪心算法与应用场景

11.1 贪心算法的原理

11.2 经典贪心问题

11.3 贪心算法在图中的应用

11.4 贪心算法的优化与扩展

总结

数据结构与算法：贪心算法与应用场景

贪心算法是一种通过选择当前最佳解来构造整体最优解的算法策略。贪心算法在很多实际问题中都取得了良好的效果，尤其在那些具有贪心选择性质和最优子结构的问题上。本章将深入探讨贪心算法的基本原理、经典问题及其应用，并使用表格对比贪心算法与其他算法的不同。

11.1 贪心算法的原理

贪心算法的核心思想是每一步都采取在当前情况下最优的选择，从而希望通过一系列最优的局部选择来达到整体最优。贪心算法适用于那些能够通过局部最优解构建全局最优解的问题。

贪心算法要素	描述
贪心选择性质	每一步的选择都可以保证局部最优，而不影响后续决策的整体最优性。
最优子结构	整体问题的最优解由各个子问题的最优解组成。
与动态规划对比	贪心算法只看局部最优，而动态规划则考虑所有可能的解。

贪心算法在一些问题中非常有效，但并不是所有问题都能通过贪心策略解决。问题是否适用贪心算法，需要仔细分析其贪心选择性质和最优子结构。

11.2 经典贪心问题

贪心算法在很多经典问题中都有应用，以下是几个典型的贪心问题。

问题名称	问题描述	贪心策略	复杂度
活动选择问题	从一组活动中选择尽可能多的互不重叠的活动。	每次选择最早结束的活动。	O(n log n)
哈夫曼编码	构建最优二进制前缀码以压缩数据。	每次合并最小权值的两个节点。	O(n log n)
区间调度问题	安排最大数量的兼容区间活动。	每次选择最早结束的区间。	O(n log n)
找零问题	用最少的硬币数量找零（假设硬币面值适合贪心策略）。	每次选择面值最大的硬币。	O(n)

代码示例：活动选择问题的实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct Activity {
    int start;
    int end;
};

int compare(const void* a, const void* b) {
    return ((struct Activity*)a)->end - ((struct Activity*)b)->end;
}

void activitySelection(struct Activity activities[], int n) {
    qsort(activities, n, sizeof(struct Activity), compare);
    printf("选择的活动: \n");
    int i = 0;
    printf("(%d, %d)\n", activities[i].start, activities[i].end);
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        if (activities[j].start >= activities[i].end) {
            printf("(%d, %d)\n", activities[j].start, activities[j].end);
            i = j;
        }
    }
}

int main() {
    struct Activity activities[] = {{1, 3}, {2, 5}, {4, 7}, {1, 8}, {5, 9}, {8, 10}};
    int n = sizeof(activities) / sizeof(activities[0]);
    activitySelection(activities, n);
    return 0;
}

在上述代码中，通过贪心策略选择最早结束的活动，可以得到一组互不重叠的活动，从而最大化所选活动的数量。

11.3 贪心算法在图中的应用

贪心算法在图论中也有广泛应用，尤其是在最小生成树和最短路径问题中。

算法名称	问题描述	贪心策略	复杂度
Prim算法	构建最小生成树，使得总权重最小。	每次选择权值最小且能扩展树的边。	O(V^2) 或 O(E log V)
Kruskal算法	构建最小生成树，使得总权重最小。	每次选择权值最小且不形成环的边。	O(E log E)
Dijkstra算法	从单源点出发，找到到其他各点的最短路径。	每次选择当前距离最小的未处理顶点。	O(V^2) 或 O(E log V)

代码示例：Prim算法的实现

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <stdbool.h>
#define V 5

int minKey(int key[], bool mstSet[]) {
    int min = INT_MAX, minIndex;
    for (int v = 0; v < V; v++) {
        if (mstSet[v] == false && key[v] < min) {
            min = key[v], minIndex = v;
        }
    }
    return minIndex;
}

void printMST(int parent[], int graph[V][V]) {
    printf("边  权重\n");
    for (int i = 1; i < V; i++) {
        printf("%d - %d    %d\n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
    }
}

void primMST(int graph[V][V]) {
    int parent[V];
    int key[V];
    bool mstSet[V];
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = false;
    }
    key[0] = 0;
    parent[0] = -1;
    for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
        int u = minKey(key, mstSet);
        mstSet[u] = true;
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            if (graph[u][v] && mstSet[v] == false && graph[u][v] < key[v]) {
                parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
            }
        }
    }
    printMST(parent, graph);
}

int main() {
    int graph[V][V] = {{0, 2, 0, 6, 0},
                       {2, 0, 3, 8, 5},
                       {0, 3, 0, 0, 7},
                       {6, 8, 0, 0, 9},
                       {0, 5, 7, 9, 0}};
    primMST(graph);
    return 0;
}

在这个代码中，通过 Prim 算法找到最小生成树，每次选择未被包含在树中的、具有最小权重的边来扩展生成树。

11.4 贪心算法的优化与扩展

虽然贪心算法在某些问题上能够很好地工作，但它的局限性在于无法保证所有情况下的全局最优解。因此，针对特定问题，可以通过以下方法对贪心算法进行优化或扩展：

优化策略	描述
启发式优化	在贪心选择的基础上加入启发式信息，提高对全局解的估计精度。
与动态规划结合	将贪心算法与动态规划结合，使用动态规划来处理贪心策略的不足。
混合算法	将贪心算法与其他算法结合，如回溯或分支限界，以求得最优解。

贪心算法在很多情况下非常高效，但对于无法满足贪心性质的问题，需要考虑其他的算法策略。通过将贪心与动态规划等方法结合，通常可以找到更优的解。