数据结构6——树与二叉树

在本专栏的前五篇中，我们学习了顺序表、链表、栈和队列，他们本质上都是线性表。有线性表就存在非线性表，现在我们就来学习一下结构更复杂的非线性表——树。

1. 树的概念与结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

①有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点；

②除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继，所以，树是递归定义的。

图示：

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度，如上图：A节点度的为3；

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；，如上图：F、H、I、J、K、L节点为叶节点；

非终端节点或分支节点：度不为0的节点，如上图：B、C、D、E、G节点为分支节点；

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点，如上图：A是B的父节点；

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点，如上图：B是A的孩子节点；

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点，如上图：B、C是兄弟节点；

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度，如上图：树的度为3；

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次，如上图：树的高度为4；

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟，如上图：F、G互为堂兄弟节点；

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点，如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙，如上图：所有节点都是A的子孙；

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。

1.3 树的表示方法

在本专栏前五篇的前五篇文章中，我们了解到顺序表、链表、栈和队列都是用数组或指针连成的线性结构。可是树结构的表示方法就相对复杂了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int DataType;

///
//双亲表示法

typedef struct {
    DataType data;//节点的数据域
    int parent;//用整型表示自己的父节点
} PTNode;
typedef struct {
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];//存放树中所有节点
    int n;  // 树中结点个数
} PTree;

///
//孩子表示法

// 孩子结点结构体
typedef struct ChildNode {
    int child;
    struct ChildNode* next;
} ChildPtr;
// 树的结点结构体
typedef struct {
    DataType data;
    ChildPtr firstchild;
} CTBox;
// 树结构体
typedef struct {
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
    int n, r;  // n是结点个数，r是根结点位置
} CTree;

///
//双亲孩子表示法

//孩子结点  
typedef struct CTNode//定义树中的一个结点  
{
    int child;//孩子结点的下标  
    struct CTNode* next;//指向下一个孩子结点的指针  
}*ChildPtr;

//表头结构  
typedef struct
{
    DataType data;//存放树中结点的数据  
    int parent;//存放双亲下标  
    ChildPtr firstchild;//指向第一个孩子的指针  
}CTBox;
//树结构  
typedef struct
{
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
    int r;//根的位置索引  
    int n;//树中节点的总数
}PCTree;

我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法：

 typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1;		// 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother;		// 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data;					// 结点中的数据域
};

1.4 树的应用

其实，文件系统的目录结构就是一个树结构，比如在Linux下使用tree命令可以看到：

2. 二叉树的概念与结构

2.1 二叉树的概念

度最多为2的树称为二叉树。

此外，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

所以，对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

①满二叉树：一棵二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为N，且结点总数是2ⁿ-1，则它就是满二叉树;

②完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

图示：