C++进阶：AVL树实现

目录

一.AVL的概念

二.AVL的实现

2.1AVL树的结构

2.2AVL树的插入

2.2.1AVL树插入一个值的大概过程

2.2.2平衡因子更新

2.2.3插入节点及更新平衡因子的实现 

2.3旋转

2.3.1旋转的原则

2.3.2右单旋

2.3.3右单旋的代码实现

2.3.4左单旋

2.3.5左单旋的代码实现

2.3.6左右双旋

2.3.7左右双旋代码实现

2.3.8右左双旋

​编辑 2.3.9右左双旋的代码实现

2.4AVL树的查找

2.5AVL树平衡检测

2.6补全insert

一.AVL的概念

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的 左右子树都是AV树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗高度平衡搜索二叉树， 通过控制高度差去控制平衡。

AVL树实现这里引入⼀个平衡因子(balance  factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡， 就像⼀个风向标⼀样。

思考一下为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法作为高度差是0

AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN) ，相比二叉搜索树有了本质的提升。

二.AVL的实现

2.1AVL树的结构

树的每一个节点包含一个pair，左右子树的指针，父亲节点的指针，还有一个AVL树特有的平衡因子。

template<class K, class V>

struct AVLTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到 
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance factor 平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;

public:
	//...
private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.2AVL树的插入

2.2.1AVL树插入一个值的大概过程

1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了。

3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束

4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.2.2平衡因子更新

更新原则：

• 平衡因子 = 右子树高度-左子树高度

• 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。

• 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在 parent的左子树，parent平衡因子--

• parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。

更新停止条件：

• 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0或者1->0，说明更新前 parent子树一边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会 影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

• 更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1或者0->-1，说 明更新前parent子树两边⼀样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高⼀边低，parent所 在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。

• 更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2或者-1->-2，说 明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高 了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把 parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理。

 更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上⼀层，更新结束。

最坏更新到根 

2.2.3插入节点及更新平衡因子的实现 

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		//while循环找到需要插入节点的位置
		while (cur)
		{
			//插入的值大于节点的值，往树的右边走
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			//小于的话往左走
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			//相同的值不能再插入
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//运行到这里就说明cur一定走到了nullptr
		//此时的parent节点存储的是叶子结点
		cur = new Node(kv);
		//大于插入到右边小于插入到左边
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		//还需要更新平衡因子
		while (parent)
		{
			//平衡因子=右子树高度-左子树的高度
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;
			//注意看上面写的更新停止条件，等于0了就说明左右子树高度相等
			if (parent->_bf == 0)
				break;
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
			{
				//这里需要旋转处理，后面说
				break;
			}
			else
			{
				//如果不是上面的几种情况，到这里就说明插入之前的树就有错误
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

这里面还有一点关于旋转的功能没有实现。

下面介绍旋转的概念及如何实现

2.3旋转

2.3.1旋转的原则

1. 保持搜索树的规则

2. 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

2.3.2右单旋

• 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新 的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原 则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

这张图是抽象的展示所有的右单旋的情况。 

具体一点：

情况一： a,b,c三棵子树高度为0

情况二：a,b,c高度为1 

情况三：a,b,c高度为2 

注意b和c都有三种情况，插入的时候插入到a上可以有4种情况。

情况四，abc高度都为3

其实还有情况五，情况六等等，但是计算下去就没有什么意义了，介绍了前面的四种情况，我们就可以了解这个右单旋是什么情况了。接下来就是代码实现

2.3.3右单旋的代码实现

void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;//左子树
	Node* subLR = subL->_right;//左子树的右子树

	//注意修改父亲指针指向它左子树的右子树
	parent->_left = subLR;
	//判断一下如果左子树的右子树不为空的话，修改它的父亲指向
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	//后面要修改父亲的指向，所以这里存一下
	Node* parentParent = parent->_parent;
	//把父亲节点放到左子树的右，同时改变父亲的父亲指针的指向
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的子树 
	// 如果是整棵树的根，要修改_root 
	// 如果是局部的指针要跟上一层链接 
	if (parentParent == nullptr)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		//可能是左子树往上更改的
		if (parent == parentParent->_left)
		{
			parentParent->_left = subL;
		}
		//也可能是右子树
		else
		{
			parentParent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = parentParent;
	}
	//完成上面的旋转后，根据我们上面画的图，平衡因子一定是0
	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2.3.4左单旋

• 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这⾥a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右旋类 似。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为10<b子树的值<15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵 树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转 原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

2.3.5左单旋的代码实现

左单旋的实现实际就是右单旋逻辑的反向。

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;//右子树
		Node* subRL = parent->_right->_left;//右子树的左子树
		//1、先改parent与subRL的关系
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		//记录父亲的父亲
		Node* parentParent = parent->_parent;
		//2、再修改subR与parent的关系
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		//3、最后修改父亲的父亲和subR的关系，注意判断parent可能为根
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subR;
			else
				parentParent->_right = subR;
			subR->_parent = parentParent;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

2.3.6左右双旋

如图，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为根的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树 这棵树就平衡了。

上面两张图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL 子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为 我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置 不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子， 引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。

• 场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引 发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。

• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋 转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

这里对于情景一，上面是直接一次把左单旋和右单旋一次画出来了，这里我细化了一下：

2.3.7左右双旋代码实现

左右单旋实际上就是左单旋和右单旋的组合，这里直接复用就行。

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = parent->_left->_right;
		//记录插入后subLR的平衡因子，因为三种场景是固定的值，需要根据这里的平衡因子改变其他的平衡因子
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);//左单旋
		RotateR(parent);//右单旋
		if (bf == 0)//对应场景三
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if(bf == -1)//对应场景一
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)//对应场景二
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

2.3.8右左双旋

• 场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。

• 场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子， 引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。

• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋 转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

 对于场景一我也是单独拿出来拆开画了一下：

 2.3.9右左双旋的代码实现

同左右双旋：

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = parent->_right->_left;
		//记录插入后subRL的平衡因子，因为三种场景是固定的值，需要根据这里的平衡因子改变其他的平衡因子
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);//右单旋
		RotateL(parent);//左单旋
		if (bf == 0)//对应场景三
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)//对应场景一
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)//对应场景二
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

2.4AVL树的查找

拿二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)

	Node* find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

2.5AVL树平衡检测

	int _height(Node* node)
	{
		if (node == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int LeftHeight = _height(node->_left);
		int RightHeight = _height(node->_right);
		return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight + 1;
	}
	bool IsBlanceTree(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		int LeftHeight = _height(root->_left);
		int RightHeight = _height(root->_right);
		int diff = RightHeight - LeftHeight;
		if (abs(diff) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
			return false;
		}
		if (root->_bf != diff)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
		// root的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树 
		return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
	}

2.6补全insert

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		//while循环找到需要插入节点的位置
		while (cur)
		{
			//插入的值大于节点的值，往树的右边走
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			//小于的话往左走
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			//相同的值不能再插入
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//运行到这里就说明cur一定走到了nullptr
		//此时的parent节点存储的是叶子结点
		cur = new Node(kv);
		//大于插入到右边小于插入到左边
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		//还需要更新平衡因子
		while (parent)
		{
			//平衡因子=右子树高度-左子树的高度
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;
			//注意看上面写的更新停止条件，等于0了就说明左右子树高度相等
			if (parent->_bf == 0)
				break;
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
			{
				//这里需要旋转处理，后面说
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}

				break;
			}
			else
			{
				//如果不是上面的几种情况，到这里就说明插入之前的树就有错误
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

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矩阵系统哪家好～矩阵短视频运营～怎么矩阵OEM

一、引言 在当今的数字化时代&#xff0c;矩阵系统在众多领域中发挥着至关重要的作用&#xff0c;如视频监控、信号切换、自动化控制等。然而&#xff0c;如何判断一个矩阵系统是否好用成为了许多用户面临的问题。本文将从多个方面探讨矩阵系统好用与否的判断标准&#xff0c;希…
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Python | Leetcode Python题解之第492题构造矩形

Python | Leetcode Python题解之第492题构造矩形

题目&#xff1a; 题解&#xff1a; class Solution:def constructRectangle(self, area: int) -> List[int]:w int(sqrt(area))while area % w:w - 1return [area // w, w]
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QtCreator14调试Qt5.15出现 Launching Debugger 错误

QtCreator14调试Qt5.15出现 Launching Debugger 错误

1、问题描述 使用QtCreator14调试程序&#xff0c;Launching Debugger 显示红色&#xff0c;无法进入调试模式。 故障现象如下&#xff1a; 使能Debugger Log窗口&#xff0c;显示&#xff1a; 325^error,msg"Error while executing Python code." 不过&#xff…
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SpringCloud学习：Seata总结与回顾

SpringCloud学习：Seata总结与回顾

SpringCloud学习&#xff1a;Seata总结与回顾 文章目录 SpringCloud学习&#xff1a;Seata总结与回顾1. Seata实战&#xff1a;测试2. Seate原理总结和面试题3. Seata总结与回顾4. 易混点 1. Seata实战&#xff1a;测试 测试问题 未启用分布式事务 若不使用分布式事务&#xf…
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基于PSO粒子群优化的CNN-GRU-SAM网络时间序列回归预测算法matlab仿真

基于PSO粒子群优化的CNN-GRU-SAM网络时间序列回归预测算法matlab仿真

目录 1.算法运行效果图预览 2.算法运行软件版本 3.部分核心程序 4.算法理论概述 5.算法完整程序工程 1.算法运行效果图预览 (完整程序运行后无水印) PSO优化过程&#xff1a; PSO优化前后&#xff0c;模型训练对比&#xff1a; 数据预测对比&#xff1a; 误差回归对比&a…
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以太网交换安全：MAC地址漂移与检测（实验：二层环路+网络攻击）

以太网交换安全：MAC地址漂移与检测（实验：二层环路+网络攻击）

一、什么是MAC地址漂移&#xff1f; MAC地址漂移是指网络中设备的MAC地址在运行过程中发生变化的现象。 MAC地址是用于唯一标识网络中的设备。 MAC地址漂移是指交换机上一个VLAN内有两个端口学习到同一个MAC地址&#xff0c;后学习到的MAC地址表项覆盖原MAC地址表项的现象。…
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I2C的学习

I2C的学习

I2C通信的基本概念 双线制&#xff1a;I2C通信采用两条线进行数据传输&#xff1a; SDA&#xff08;Serial Data Line&#xff09;&#xff1a;数据线&#xff0c;用于传输数据。SCL&#xff08;Serial Clock Line&#xff09;&#xff1a;时钟线&#xff0c;用于同步数据传输。…
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