一.矩阵及其计算

1.矩阵的概念

矩阵就是一个数表

元素全是0，是零矩阵，用0来表示

当m=n时，称为n阶矩阵（方阵）

只有一行的叫行矩阵，只有一列的叫列矩阵

只有对角线有元素的叫做对角矩阵，用diag（a11，a22，.... ann） 表示

对角元全是1的对角矩阵叫单位矩阵

对角元全是k的对角矩阵叫数量矩阵

上三角矩阵

下三角矩阵

线性方程组与矩阵的对应关系：

2.矩阵的线性运算

同型矩阵：两个矩阵的行数和列数分别相等

矩阵相等：同型矩阵对应元素相等

矩阵加法：同型矩阵对应元素相加

负矩阵：对应元素相反

矩阵减法：对应元素相减

数乘：矩阵的每个值都×这个数

3.矩阵乘法

矩阵A有多少列，矩阵B要有多少行

性质：矩阵乘法不可交换
          AB=0，不能推出A=0或B=0(因此，AB=AC，推不出B = C)

任何矩阵和单位矩阵的乘法是可以交换的 IA = A = AI

4.矩阵乘法的运算规律

(AB)C = A(BC)                k(AB) = kAB = A(kB)        A(B+C) = AB + AC

(B+C)A = BA + CA

例题：证明(AB)C = A(BC) 

首先证明同型，然后证明相等

5.方阵的幂与多项式

若A是n阶方阵，k是正整数

注意：

只有在AB = BA的情况下，才会成立

有f（A）= g（A），但是一般f（A）g（B） ≠ g（B）f（A）

6.矩阵的转置

A转置的转置等于A

转置的相加等于相加的转置

7.对称矩阵和反对称矩阵

如果A的转置等于A本身，A就是对称矩阵

A的转置等于-A，A就是反对称矩阵（反对称矩阵的对角元是0）

数乘对称矩阵仍为对称矩阵，同阶对称矩阵和仍为对称矩阵

只有在AB = BA时，同阶对称矩阵的乘积才是对称矩阵

如果A与A转置的乘积为0，则A=0